Analysis: Bestimmen Sie den Konvergenzradius der komplexen Potenzreihe

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der komplexen Potenzreihe

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}}{(n+1) (n+3)} z^n} \).

Ansatz:

Zur Lösung der Aufgabe soll die Potenzreihe in die allgemeine Form

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_{n} (z - z_0)^n} \) überführt werden.

Answer 1

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}}{(n+1) (n+3)} z^n} \)

Dann ist in der Form \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_{n} (z - z_0)^n} \)

\( {a_{n} = \frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}}{(n+1) (n+3)}} \) und z_o=0

Betrachte

\( |\frac {a_{n}}{a_{n+1}} |= |\frac{\frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}}{(n+1) (n+3)}}{\frac{2^{2(n+1)}(1 + 2i)^{4(n+1)}}{(n+2) (n+4)}} |= |\frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}(n+2) (n+4)}{2^{2(n+1)}(1 + 2i)^{4(n+1)}(n+1) (n+3)}| \)

\(  = |\frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}(n+2) (n+4)}{2^{2n+2}(1 + 2i)^{4n+4}(n+1) (n+3)}|=| \frac{(n+2) (n+4)}{4(1 + 2i)^{4}(n+1) (n+3)} |= \frac{(n+2) (n+4)}{4|1 + 2i|^{4}(n+1) (n+3)} \)
\( = \frac{(n+2) (n+4)}{4\sqrt{5}^{4}(n+1) (n+3)} = \frac{1}{4\cdot25} \cdot \frac{(n+2) (n+4)}{(n+1) (n+3)} \)

Also Konvergenzradius 0,01. Denn der 2. Faktor hat für n gegen unendlich den Grenzwert 1.

Answer 2

Setze \(y=4(1+2i)^4z\). Dann geht die z-Potenzreihe in die

y-Potenzreihe \(\sum \frac{1}{(n+1)(n+3)}y^n \) über.

Diese hat den Konvergenzradius 1 (Quotientenformel).

Daher gilt Konvergenz für \(|4(1+2i)^4z| < 1\), d.h.

\(4\cdot \sqrt{5}^4 \cdot |z|<1\), also \(|z|<1/100\).

Damit isr \(R=1/100\).