Kreise in der Ebene; Vektor- und Koordinatengleichung

Question

Aufgabe:

Stellen Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung des Kreises k auf.

d)k berührt die x-Achse in P(3/0) und geht durch Q(0/1).

Answer 1

K: (X - [3, 0])^2 = 5^2 bzw.
K: x^2 - 6·x + y^2 = 16

Vielleicht wird dir das durch eine Skizze klarer.

Answer 2

Hallo,

(x-xm)^2 + (y-ym)^2 = r^2

Wegen des Berührpunktes (3|0) ist xm=3 und ym=r.

(x-3)^2 + (y-r)^2 = r^2

Q(0|1) → (0-3)^2 + (1-r)^2 =r^2

9 + 1 -2r + r^2 = r^2 → r=5

Koordinatengleichung:

(x-3)^2 + (y-5)^2 =5^2

x^2-6x+9+y^2-10y+25=25

Ausmultipliziert:

x^2-6x+y^2-10y+9=0

\(\text{\textbf{\textsf {Vektorgleichung:}}}\\\left(\vec x -\begin{pmatrix} 3\\ 5\end{pmatrix}\right)^2=25 \)

:-)

Comments

K: (X - [3, 0])^2 = 5^2 bzw.

K: x^2 - 6·x + y^2 = 16

Das ist falsch.

Answer 3

Aloha :)

Der Gesuchte ist ein Kreis:$$k\colon (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Der Kreis "berührt" die \(x\)-Achse im Punkt \(P(3|0)\). Das heißt, die \(x\)-Achse steht senkrecht zum Durchmesser des Kreises. Daher hat der Mittelpunkt die \(x\)-Koordinate \(3\) und ist um \(a=3\) in \(x\)-Richtung gegenüber dem Ursprung verschoben:$$k\colon (x-3)^2+(y-b)^2=r^2$$

Beide Punkte \(P(3|0)\) und \(Q(0|1)\) müssen die Kreisgleichung erfüllen:$$P(3|0)\implies(3-3)^2+(0-b)^2=r^2\implies b^2=r^2$$$$Q(0|1)\implies(0-3)^2+(1-b)^2=r^2\stackrel{b^2=r^2}{\implies}10-2b+b^2=b^2\implies b=5$$

Damit haben wir die Kreisgleichung gefunden:$$\pink{k\colon(x-3)^2+(y-5)^2=5^2}$$

Das ist ein Kreis mit Mttelpunkt \(M(3|5)\) und Radius \(r=5\).

Die vektorielle Form der Kreisgleichung lautet daher:$$k\colon\left\|\vec r-\binom{3}{5}\right\|=5$$