Kreisgleichung aufstellen mithilfe von zwei Punkten und der gesuchte Kreis berührt einen angegebenen Kreis

Question

Moin, vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Aufgabe:

Geben sie die Gleichung eines Kreises K2 an, der durch die beiden Punkte P(1,4) und Q(1,-4) geht und den Kreis k1:(x-7)²+(y+2)²=9 berührt.

Problem/Ansatz:

Habe versucht die beiden Punkte P und Q jeweils in Kreisform dargestellt und gleichgesetzt, um die Koordinaten des Mittelpunktes von K2 zu bestimmen. P und Q haben ja den gleichen Abstand zum Mittelpunkt (Radis von K2). Der Schnittpunkt der beiden Kreise mit den Mittelpunkt P bzw. Q ist dann ja der Mittelpunkt von K2. Dadurch kann ich die Kreisgleichung von K2 aufstellen.

Oder ich habe hier einen Denkfehler ...

Nehme jeden Hilfe an, danke.

Comments

Der Schnittpunkt der beiden Kreise mit den Mittelpunkt P bzw. Q ist dann ja der Mittelpunkt von K2

Da du die Radien dieser beiden Kreise nicht kennst, kannst du auch nicht wissen, ob es da den einen "Schnittpunkt", von dem du sprichst, gibt oder mehrere oder gar keinen. Richtig ist : Wenn es Schnittpunkte gibt, dann liegt der Mittelpunkt von k2 auf der Geraden, die diese Schnittpunkte enthält. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte von P und Q und ein Blick auf die gegebenen Koordinaten zeigt sofort, welche Gerade das ist.

Answer 1

k₂ mit Mittelpunkt (x │ y) und Radius r:

(1 - x)^2  + (4 - y)^2 = r^2

(1 - x)^2  + (-4 - y)^2 = r^2

k₁ mit Mittelpunkt (7 │ -2) und Radius = 3

\( \sqrt{(x- 7)^2 + (y+2)^2} = 3 + r \)     Abstand der Kreismittelpunkte

Die Lösung der drei Gleichungen führt zum Ergebnis.

Comments

Wer die Unvollständigkeit seiner Lösung nicht wenigstens erwähnt, kann sich leicht dem Verdacht aussetzen, diese nicht erkannt zu haben.

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Richtig :)

Es geht natürlich auch der grüne Kreis anstatt der blaue:

Auf der rechten Seite der dritten Gleichung steht dann r - 3 anstatt 3 + r .

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Da WS gerade nicht anwesend zu sein scheint, übernehme ich mal seinen Part, eine allgemeine (d.h. unabh. von den gegebenen Koordinaten und Größen) Konstrukion anzugeben :

P, Q und k1 = k(M1,r) seien gegeben.
1. Zeichne Mittelsenkrechte m von P und Q
2. Zeichne einen bel. Punkt M3 auf m und einen Kreis k3 um M3, der k1 in U und V schneidet
3. Zeichne die Geraden g durch P und Q sowie h durch U znd V und ihren Schnittpunkt R
4. Zeichne den Mittelpunkt M4 von R und M1 sowie den Kreis k4 um M4 durch R
5. Die Schnittpunkte von k3 und k4 seien S und T
6. Die gesuchten Kreise k2 sind die Umkreise der Dreiecke ΔPQS bzw. ΔPQT

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Vielleicht ist WS ja anwesend aber hat erkannt, dass nicht eine Konstruktion verlangt wird sondern eine Kreisgleichung.