d Vektoren bilden eine Basis eines K-Vektorraums der Dimension d, wenn Vektoren linear unabhängig

Question

Aufgabe:

Zu zeigen sei, dass in einem K-Vektorraum V der Dimension d, d Vektoren (v1,...,vd) genau dann eine Basis von V bilden, wenn sie linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Ich Steh momentan total auf dem Schlauch die Aussage zu beweisen, da die Aussage ja eigentlich eine bereits definierte Bedingung ist...Würde mich um jede Hilfe freuen.

Answer 1

.. . eine Basis (ist) eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt

gilt laut Wikipedia.

Zu zeigen: Basis → lin. unabh.:

Der Nullvektor ist also eindeutig als Linearkombination darstellbar, d.h. o=0·v1+...+0vd. Die Eindeutigkeit bedeutet, dass die Vektoren linear unabhängig sind.

Zu zeigen: lin. unabh. → Basis

Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, muss gezeigt werden, dass jeder Vektor w des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination dargestellt wird.

w=a1·v1+...+ad·vd=b1·v1+...+b1·vd

Wenn wir beide Seiten subtrahieren:

(a1-b1)·v1+...+(ad-bd)·vd=o

Da die Vektoren v1,...,vd linear unabhängig sind, müssen alle Faktoren Null sein, d.h. alle ai=bi. Die Darstellung von w ist eindeutig. v1,...,vd bilden eine Basis.

Comments

Ja genau, aber inwiefern impliziert das, dass bei Dimension d, genau d Vektoren eine Basis bilden?

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@studentmitfragen Die Lösung liegt in der Minimalität des Erzeugendensystems

PS: Schau mal im Buch nach und in der Lösung von Aufgabe 8.2.a :)