Ist meine Aufgabe richtig? Teilmenge von R^3 linear unabhängig, Erzeugendensystem und Basis?

Question

bräuchte ein wenig Hilfe zu folgender Aufgabe.

Wir haben die Teilmenge {(1 1 1), (0 2 -2)} aus dem ℝ^3  und sollen herausfinden, ob sie linear unabhängig ist, ein Erzeugendensystem und eventuell sogar eine Basis ist.

Das sie linear unabhängig ist habe ich bereits herausgefunden, weil:

Sei v1 =(1 1 1) und v2 = (0 2 -2)

  av1 + av2 =(0 0 0)  mit a = 0 und b = 0.

Jetzt kommt mein Problem, das Erzeugendensystem, könnt ihr mir sagen, ob das richtig ist ?

Ich habe einen Vektor gesucht der nicht dargestellt werden kann.

(3 4 5) ist ungleich av1 + av2  und deshalb auch keine Basis.

Answer 1

Das sie linear unabhängig ist habe ich bereits herausgefunden, weil:

Sei v1 =(1 1 1) und v2 = (0 2 -2)

  av1 + bv2 =(0 0 0)     #

 mit a = 0 und b = 0.

Das "mit" ist etwas schwach, klar gilt  #, wenn a=b=0 ,

aber für linear unabhängig musst du zeigen, dass dies

die EINZIGE Lösung ist.

Jetzt kommt mein Problem, das Erzeugendensystem, könnt ihr mir sagen, ob das richtig ist ?

Ich habe einen Vektor gesucht der nicht dargestellt werden kann.

(3 4 5) ist ungleich av1 + bv2 

Das musst du natürlich begründen, indem du den


Ansatz     av1 + bv2  = 0-Vektor  zum


Widerspruch führst.

 und deshalb ist die gegebene Teilmenge

auch keine Basis.   Das ist OK.