Lineare Abhängigkeit von Vektoren und Unabhängigkeit

Question

Aufgabe:

Lineare Unabhängigkeit/Abhängigkeit kann man mit der Linearkombinarion prüfen.

Gibt es eine Lösung, ist es abhängig, weil die Vektoren als Vielfaches der abderen Vektoren darstellbar sind.(also liegen sie auf einer Ebene)

Gibt es nur die Nulllösung, sind sie unabhängig. (also bilden sie eine Basis)

Aber was ist, wenn sich ein Widerspruch ergibt?

Ich kann mir das räumlich nicht vorstellen, es gibt doch nur eine Basis (die den gesamten Raum aufspannt) und eine Ebene, aber wozu gehört dann der Widerspruch?

Comments

Gib mal das Beispiel für den Widerspruch an.

Answer 1

Hallo

offensichtlich redest du nur von Vektoren im R^3 also im 3 dimensionalen Raum. Eigentlich gibt es natürlich auch die im n dimensionalen Raum und noch andere Arten von Vektoren . Zum Beispiel bilden die Polynoms bis zum Grade n  auch einen Vektorraum, sind also in dem Sinne Vektoren.

Jetzt nur noch zu den 3d Vektoren, im 3 D Raum gibt es ja viel Ebenen, die durch 0 gehen. Nimm ein buch und lass die Blätter darin aufgefächert stehen, dann hast du bei 200 Seiten schon man 200 Stücken vin verschiedenen Ebenen.

Oft verwendet man insbesondere in der Schule die sogenannten Standardbasisvektoren ex=(1,0,0), ey=(0,1,0) und ez=(0,0,1)

aber man kann auch irgend 3 andere linear unabhängige nehmen, die bilden auch eine Basis, denn man kann daraus jeden anderen 3 d- Vektor durch Linearkombination herstellen, z. B. bilden (1,1,1) ,(1,2,3) und (2,0,5) auch eine Basis.

dagegen liegen die Vektoren (1,1,1) (2,2,6) und (4,4,8) in einer Ebene.

Gruß lul

Comments

Aber wenn man rechnerisch prüfen möchte, ob die Vektoren linear unabhängig sind oder nicht, was passiert bei einem Widerspruch:

z.B. 1*Vektor(1,7,2)+(-3)*Vektor(1,2,1)+1*Vektor(2,-1,1)

=>linear abhängig

z.B. 0*(2,2,4)+0*(4,6,5)+0*(1,2,2)

=>linear unabhängig

Was passiert, wenn beim Gleichungssystem ein Widerspruch auftritt: 5=6?

Ist es dann linear unabhängig, abhängig oder etwas anderes?