Man zeige, dass es eine irrationale Zahl y gibt mit a<y<b

Question

Man zeige, dass es eine rationale Zahl y ∈ ℝ\ℚ gibt mit a<y<b.

Meine Idee mit dem Archimedischen Prinzip zu arbeiten, denn nach dem Archimedischen Prinzip existiert eine natürliche Zahl n > a. Das sieht ja schon ein bisschen nach der Aufgabe aus. Leider weiß ich trotzdem nicht, wie ich das verwenden soll, um die Aussage zu beweisen.

Hat jemand ein paar Tipps für mich?

Comments

Das gilt sicher nur wenn a <> b ist.

Ich definiere mal das a < b sein soll und ich den Abstand b - a mit d bezeichne. Weil b > a ist d > 0 und damit gilt:

a + d/2 = y
a < y

y + d/2 = b
y < b

Sorry. Dieses zeigt leider nicht das y irrational ist. Das würde nur zeigen das es eine Zahl zwischen a und b gibt.

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Wieso ist  a < 0  und  y  irrrational?

Answer 1

Annahme a<b und a und b in Q

y = a + (b-a)/√2 

a < a + (b-a)/√2        stimmt, da b-a > 0

a + (b-a)/√2 < b         stimmt, weil a + (b-a) = b und (b-a)/√2 < b-a

Somit liegt y zwischen a und b.

y= a + (b-a)/√2 = a + √2*(b-a)/2

Da √2 nicht in Q ist, aber a und (b-a)/2 in Q liegen, ist √2(b-a)/2 irrational 

und dann auch a + √2(b-a)/2

Vielleicht musst du noch die eben verwendeten Rechenregeln beweisen oder beweisen, dass √2 irrational ist. Kommt drauf an, was ihr im Unterricht schon gelernt habt.

Comments

Was wenn  a  oder  b  irrational sind?

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Dann musst du sonstwie absichern, dass y nicht zufällig rational wird.

Du könntest dann z.B. den ersten Vorschlag von Mathecoach benutzen.

Zu dem, was ich oben benutzt habe, ein Beweis  hier: https://www.mathelounge.de/20611/beweise-summe-rationaler-irrationaler-zahl-immer-irrational