Beweis per Kontraposition von: Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist immer eine irrationale Zahl!

Question

habe da folgendes Problem:

folgende Aussage: Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist immer eine irrationale Zahl!

Also ich denke, dass die Aussage wahr ist, aber ich weiss nicht wie man dieses per Kontraposition bzw. Widerspruch beweisen kann.

also als erstes geht man ja so vor: (a+b=c) = (a(rational) + b(irrational) =c(irrational))

Aber wie kann man das genau beweisen? Mir fehlt da eine zündene Idee. Kann mir da jemand einen Rat geben?

Vielen Dank schon mal.

m.

Answer 1

 (a+b=c) Behauptung (a(rational) + b(irrational) =c(irrational))

Kontraposition: Annahme es gibt 3 Zahlen so dass:

a + b = c, wobei a und c Element Q und b Element R\Q.

Nun ist aber

b = c-a

c-a ist eine rationale Zahl, das die Differenz zweier rationaler Zahlen immer rational ist. (vgl. Bruchrechenregeln: Gleichnamig machen und zusammenfassen geht immer).

==> b ist rational. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass b irrational ist. qed.

"Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist immer eine irrationale Zahl."