Schnittmenge von Kern und Bildmenge mit Endomorphismus?

Question

Hallo nochmal,

ich hatte bei meinem vorherigen Beitrag eine Frage vergessen:

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f: V-->V mit f°f=f ein Endomorphismus. Zeigen Sie, dass gilt ker(f) ∩f(V)=0

mein Ansatz: Ich habe versucht mit der Injektivität von f zu argumentieren und mit dem Zusammenhang, dass ker(f)=0 dann automatisch 0 sein muss, habe aber keine weiteren Ideen dazu. Wisst ihr eventuell weiter?

Comments

ker(f) ∩f(v)=0

was wird an v vorausgestzt? einfach nur ein v aus V?

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Ich denke schon, zumidest ist das, was ich gepostet habe schon die ganze Aufgabenstellung

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Sicher, dass im Original f(v) und nicht f(V) stand?

f: V-->V mit f°f=f

Damit ist f eine sogenannte Projektion.

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Tut mir leid, du hast Recht. ich meinte f(V).

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Habe das f(V) nun so korrigiert. Damit sind mit V alle Elemente von V gleichzeitig gemeint.

Answer 1

Danke an @Lu. Zu zeigen ist ker(f) ∩f(V)={0} (Gleichheit von Mengen)
"⊆" Ein Element aus ker(f) ∩f(V) ist von der Form f(w) für ein w aus V (als Element von f(V)) und für diesen gilt zusätzlich f(f(w))=0, da f(w) im kern liegt.
Nach Voraussetzung ist f(f(w))=f(w)=0. Somit ist f(w) in  {0}.

"⊇" 0 liegt im Kern. Liegt es auch in f(V)? Ja, denn 0=f(0).

Comments

Besten Dank, dass hat mir sehr gehilfen. Weißt du vielleicht, ob und wenn ja wie, ich das Argument mit der Injektivität trotzdem noch einbauen könnte?

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Klar, aber das wäre dann eine sehr starke Annahme. Ist f injektiv dann haben wir direkt ker(f)={0}, und damit  ker(f) ∩f(V)={0}∩f(V)={0}. Bei letzter Gleicheit ist zu begründen, dass 0 in f(V) liegt, aber das gilt offensichtlich.

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Sorry dass ich nochmal nachfrage, aber ist es richtig von mir aufgefasst, dass die aufgabenstellung schon impliziert, dass der Endomorphismus injektiv ist?

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Nein, Endomorphismus heißt nur, dass die lineare Abbildung in selben Raum abbildet. Monomorphismus nennt man falls f injektiv ist, und Epi- falls surjektiv.

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ok vielen vielen Dank, dass hatte ich durcheinandergebracht. Könnte man denn auch den Beweis so führen, dass man f als einen Monomorphismus auffasst und daraus dann schließt, dass es auch für den Endomorphismus gelten muss, da der Monomorphis die "stärkeren Eigenschaften" hat?

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Nein, dieses f ist im Allgemeinen nicht injektiv, also darf man nicht annehmen, dass f Monomorphismus ist. Endo und Mono haben apriori nichts miteinander zutun, aus einem folgt nicht das andere und umgekehrt.

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Ok, vielen Dank!

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Hallo, tut mir leid, dass ich nochmal so spät etwas nachfrage, aber was bedeutet es eigentlich genau in diesem Bsp, dass f°f=f. Bzw. was ist der Sinn dahinter? Hätte man es nicht bei dem Beweis einfach bei f als Endomorhismus belassen können?

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f°f=f heisst dass f(f(v)) das gleiche wie f(v) ist. Zum beispiel f(x,y)=(x,0). Die Bedingung Endomorphismus braucht man  damit f°f wohldefiniert ist. Zum beispiel für die lineare Funktion  f:RxR->R macht f°f kein Sinn,weil kein Endomorphismus.

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hi, danke dass du mir nochmal geantwortet hast. Es tut mir extrem leid, falls ich mich wieder total dumm anstelle. Aber lu hat ja schon gesagt, dass es sich bei f°f=f um eine Projektion handelt. Wäre es dann nicht so, dass der Endomorphismus hier doch injektiv wäre, weil ja nur die 0 auf die 0 abgebildet wird.

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Das mit der Projektion hab ich nicht gesagt, aber ja Projektionen erfüllen f°f=f. "echte" Projektionen sind nie injektiv!!! Deine Schlussfolgerung "0 geht auf 0" => injektiv, ist falsch. Jede lineare Abb erfüllt "0 geht auf 0". Richtig wäre zu sagen, "NUR die 0 geht auf 0". Diesfalls folgt injektivität. Bei echten Projektionen gehen viele Vektoren ungleich null auf die Null. Zum Beispiel f(x,y)=(x,0)