Question

Geben Sie eine Gleichung einer Geraden h an, die die Gerade g orthogonal schneidet.

  \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {11} \\ {-6}\end{array}\right)+s \cdot \left(\begin{array}{c}{1} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right) \)

Answer 1

h: X = [-1, 11, -6] + r * [2, -1, 0]

Warum ist diese Gerade senkrecht ?

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Welche der folgenden Richtungsvektoren sind zu [a, b, c] senkrecht ?

[b, a, c], [-b, a, 0], [c, b, a], [0, c, -b], [0, 0, -a], [c, 0, -a], [0, 0, 0]

Comments

Ich kann doch nur prüfen, ob Gerade, die sich schneiden, zueinander orthogonal sind oder?

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Ja. Bei Windschiefen könnten zwar auch die Richtungsvektoren orthogonal sein aber dann spricht man eher nicht von orthogonal.

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Also wir haben mit dem Thema erst heute angefangen und haben nur die beiden Beispiele bearbeitet.

Kommt man damit weiter?

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Wo hast du da denn Probleme ?

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Wie soll ich das auf die Aufgabe anwenden?

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Beantworte mal folgende Fragen:

Wann sind 2 Richtungsvektoren senkrecht / orthogonal zueinander ?

...

Welche der folgenden Richtungsvektoren sind zu [a, b, c] senkrecht ?

[b, a, c], [-b, a, 0], [c, b, a], [0, c, -b], [0, 0, -a], [c, 0, -a], [0, 0, 0]

...

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Wenn das Skalarprodukt 0 ergibt?

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Genau. 2 Vektoren sind senkrecht wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Wie ist das mit der 2. Frage ?

Welche der folgenden Richtungsvektoren sind zu [a, b, c] senkrecht ?

[b, a, c], [-b, a, 0], [c, b, a], [0, c, -b], [0, 0, -a], [c, 0, -a], [0, 0, 0]

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Zu [a, b, c]  müsste [0,0,0] senkrecht sein.

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[0, 0, 0] ist kein wirklicher Richtungsvektor der Nullvektor hat die Länge 0 und zeigt in keine Richtung.

Rein Mathematisch ist der Nullvektor senkrecht zu allen anderen Vektoren.

Answer 2

$$\vec g = \begin{pmatrix} 2\\2\\8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2\\3\\5 \end{pmatrix}$$ für die Orthogonale h muss gelten:
$$\vec g \cdot \vec h =0$$
$$\left(\begin{pmatrix} 2\\2\\8 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2\\3\\5 \end{pmatrix}\right) \cdot \left(\begin{pmatrix} 2\\2\\8 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} h_ x\\h_y\\h_z \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$
wenn sich die beiden im gemeinsamen Stützvektor schneiden - sonst gibt es unendlich viele Lösungen ... als noch unendlicher als so schon.
Man kann sichs auch leichter machen und den gemeinsamen Stützvektor in den Ursprung legen - das hat keinen Einfluss auf die Orthogonalität - und dann allein die Richtungsvektoren betrachten:
$$\left(\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2\\3\\5 \end{pmatrix}\right) \cdot \left(\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} h_ x\\h_y\\h_z \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

$$ \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2\\3\\5 \end{pmatrix} \cdot  \mu \cdot \begin{pmatrix} h_ x\\h_y\\h_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$
Die Parameter eliminieren, weil die keinen brauchbaren Beitrag zum Nullprodukt leisten:
$$\begin{pmatrix} -2\\3\\5 \end{pmatrix} \cdot   \begin{pmatrix} h_ x\\h_y\\h_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$Skalarprodukt bilden:
$$-2 h_x+3 h_y +5 h_z =0 $$
Und nun siehst Du, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Lösung zu finden ...
... nimm zwei beliebige Werte für zwei der Dimensionen und berechne die dritte und es stimmt.
Man kann eine Orthogonalebene durch einen Punkt exakt bestimmen zum Beispiel - weil da genügend Angaben vorliegen.