Aufgabe:
Ist \( G \) eine Gruppe und \( f: G \rightarrow G \) ein Homomorphismus, so heißt \( f \) ein Endomorphismus von \( G \); ist \( f \) außerdem bijektiv, so heißt \( f \) ein Automorphismus von \( G \). Die Menge der Automorphismen von \( G \) bezeichnen wir \( \operatorname{Aut}(G) \).
(a) Zeige: Ist \( G \) eine Gruppe, so bildet \( \operatorname{Aut}(G) \) (zusammen mit der Komposition von) Abbildungen als Verknüpfung) ebenfalls eine Gruppe.
(b) Zeige: Sind \( G \) und \( H \) Gruppen mit \( G \cong H \), so ist auch \( \operatorname{Aut}(G) \cong \operatorname{Aut}(H) \) (mit der Verknüpfung aus (a)).
(c) Zeige: Ist \( K \) ein Körper und sind \( V \) und \( W K \)-Vektorräume mit \( V \cong W \), so ist \( \operatorname{End}_{K}(V) \cong \operatorname{End}_{K}(W) \) (jeweils aufgefaßt als \( K \)-Vektorräume).
(d) Zeige: Ist \( K \) ein Körper und sind \( V, V^{\prime}, W, W^{\prime} K \)-Vektorräume mit \( V \cong V^{\prime} \) und \( W \cong W^{\prime} \), so ist \( \operatorname{Hom}_{K}(V, W) \cong \operatorname{Hom}_{K}\left(V^{\prime}, W^{\prime}\right) \) (jeweils aufgefaßt als \( K \)-Vektorräume).
