Zeigen Sie, dass die Gruppen (Z, ◦) und (Z, +) isomorph sind.

Question

Aufgabe:

Auf Z sei eine Verknüpfung ◦ : Z × Z → Z definiert durch α ◦ β := α + β + 5 für α, β ∈ Z.

Zeigen Sie, dass die Gruppen (Z, ◦) und (Z, +) isomorph sind.

Problem/Ansatz:

Überlegung: Die Gruppen sind Isomorph, falls ein bijektiver Homomorphismus existiert. D. h. es muss eine bijektive Abbildung f: (Z, ◦) → (Z, +)   geben und für alle x und y aus (Z,◦) muss gelten:  f(x◦y) = f(x) + f(y)

Ich weiß aber nicht genau wie ich die Anforderung  f(x◦y) = f(x) + f(y)   überprüfen soll, wenn ich nicht genau weiß, wie f definiert ist. Natürlich kann ich die gegebene Gleichung zu  f(x + y + 5) = f(x) + f(y)  umformen, jedoch weiß ich nicht wie f die Variablen verändert und kann dementsprechend auch nicht beurteilen, ob die Gleichung wahr oder falsch ist. Oder ist es meine Aufgabe zu prüfen, ob eine Funktion f existiert für die die Gleichung wahr und bijektiv ist?

Danke im Voraus!

Answer 1

Ein Isomorphismus bildet ja z.B. immer das neutrale El. der einen

Gruppe auf das neutrale Element der anderen Gruppe ab.

In   (Z, ◦) ist 5 das neutrale Element.

Also könnte schon   f: (Z, ◦) → (Z, +) mit f(x)=x-5

der ges. Isom. sein.

Comments

Vielen Dank!

Also muss man eigentlich nur eine Funktion f(x) finden, die bijektiv ist und das neutrale Element der einen Gruppe auf das neutr. E. der anderen Gruppe abbildet?

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Aber mit x-5 geht es nicht, das ist kein Hom.

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Da:

f(x◦y) = f(x) + f(y)   mit f(x) =x-5

f(x + y + 5) = f(x) + f(y)

x+ y +5 -5 = x-5 +y-5

x+y = x +y -10

zu einem Widerspruch führt sind die Gruppen also nicht ismorph?

Oder existiert eine andere Abbildung mit der man die Isomorphie zeigen kann?