Mathe Vektorraum R[X] . Sei U1 := { f ∈ R[X] | ∀m ∈ M : f(m) = 0},

Question

Bezeichne V den reellen Vektorraum R[X] und M ⊂ R eine Menge mit d Elementen.

Seien U1 := { f ∈ R[X] | ∀m ∈ M : f(m) = 0},

U2 := { f ∈ R[X] | deg(f) ≤ d − 1} zwei Untervektorräume von V

und weiter Φ : V → Abb(M, R) die durch Φ(f)(m) := f(m) gegebene lineare Abbildung.

a) Zeigen Sie, dass Φ|U2 : U2 → Abb(M, R) ein Vektorraum-Isomorphismus ist..

Wie beweise ich das?

Answer 1

Um zu zeigen dass die Abbildung ein Isomorphismus ist, müssen wir zeigen dass die Abbildung ein Homomorphismus ist, injektiv und surjektiv.

Da die Abbildung linear ist, ist diese auch ein Homomorphismus. Wir müssen also nur zeigen dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist.