Beweis zur Basis von K-Vektorraum K[X]

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper, d ∈ N0 und a, b ∈ K mit a ungleich b. Betrachte

den K-Vektorraum V := K[X]_d aller Polynome über K vom Grad höchstens d. Zeige, dass

B:= {(X − a) ⁱ(X − b)^d-i | i ∈ {0, . . . , d}} eine (d + 1)-elementige Basis von V ist.

Problem/Ansatz:

Wir denke, dass man zeigen muss:

- B ist ein Erzeugenden System

- B linear unabhängig (wie zeigen wir diese genau in diesem Fall?)

Reicht es für ein Erzeugendensystem, da V ja bereits ein K-Vektorraum ist einfach zu zeigen, dass B Teilmenge V ist?

Wenn wir dann ein y Element in B haben müssten wir ja einfach zeigen, dass dieses auch in V ist, also

- y Element K[x]

- deg y kleinergleich d

Aber so ganz kommen wir da nicht weiter.

Ist denn der Anfang wenigstens schon richtig und kann uns jemand noch weiterhelfen?

Vielen lieben Dank im Voraus !

Comments

Reicht es für ein Erzeugendensystem, da V ja bereits ein K-Vektorraum ist einfach zu zeigen, dass B Teilmenge V ist?

Nein. Sonst wäre ja jede Teilmenge von V auch ein Erzeugendensystem. Vielleicht solltest Du Dir die Begriffe noch einmal anschauen, bevor Du konkret an die Aufgabe gehst.

Grundsätzlich ist es richtig, dass eine Basis ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist. Ich vermute, dass Ihr hier benutzen dürft, dass die Dimension von V gleich d+1 ist.

Gruß Mathhilf

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Danke für die Hilfe!

Wir beweise ich denn nun, dass dieses konkrete B linear unabhängig ist?

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Ich würde mir die Sache erst einmal für d=2 anschauen. Dann würde ich die Bedingung aufschreiben, die die 3 gegebenen Funktionen erfüllen müssen, um linear unabhängig zu sein. Diese Bedingung würde ich dann mal für x=a und dann für x=b nutzen ....

Gruß Mathhilf