Zeigen Sie: Es existiert ein Vektorraum-Isomorphismus

Question

Aufgabe 2:

Sei \( V \) ein beliebiger, endlichdimensionaler \( K \) -Vektorraum. (Wie üblich bezeichnet hier \( K \) den zugrundeliegen Körper).

i) Zeigen Sie: Es existiert ein Vektorraum-Isomorphismus

\( V \cong K^{\operatorname{dim} V} \)

ii) Sei \( n \geq m \geq 0 . \) Zeigen Sie:

\( K^{n} / K^{m} \cong K^{n-m} \)

Answer 1

i) Sei b₁,...,b_n  eine Basis von V (n=dim V). und e₁,...,e_n die Standardbasis von Kⁿ dann ist f: V → Kⁿ , f(b_i)=e_i (0<i<n+1) (es genügt bekanntlich lineare Abb. auf der Basis zu definieren) ein solcher Isomorphismus (man kann z.B. die Umkehrabb. sofort angeben).

iI) g:Kⁿ→K^n-m (a₁,a₂, ...,a_n)↦(a₁,a₂,...,a_n-m) ist linear und surjetiv (eine Projektion) mit m-dimensionalen Kern (z.B. mit Dimensionssatz). Nach i) ist der Kern damit isomorph zu K^m und die Isomorphie folgt mit dem Homorphiesatz.

Comments

danke :)

mir ist leider nicht klar wie ich aus dem homomorphiesatz die isomorphie folgern kann.