Vektorraum und Homomorphismen: Summe (-1)^{i} dim V_(i) = 0

Question

Aufgabe:

Sei \( n>1 \) beliebig. Seien ferner \( V_{i}, i \in\{0, \ldots, n\} \), endlich dimensionale Vektorräume und \( f_{i}: V_{i} \rightarrow V_{i+1}, i \in\{0, \ldots, n-1\} \), Homomorphismen. Angenommen, es gilt

\( \text { - } V_{0}=V_{n}=\{0\} \)

- ker \( f_{i+1}=\operatorname{Im}\left(f_{i}\right) \) für alle \( i \in\{0, \ldots, n-2\} \)

Zeigen Sie:
\( \sum \limits_{i=0}^{n}(-1)^{i} \operatorname{dim} V_{i}=0 \)

Answer 1

Nach dem Dimenssionssatz ist dim(V_i) =dim (ker f_i)+dim ( Im f_i).

Es ist damit $$\sum_{i=0}^n (-1)^i dim (V_i) =\sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i dim (V_i)= \sum _{i=0}^{n-1} (-1)^i (dim (ker f_i)+dim (Im f_i) )$$ nach der Vorbemerkung; nach Voraussetzung  ist dies gleich $$  \sum _{i=0}^{n-2} (-1)^i (dim (ker f_i)+ dim (ker f_{i+1})) +(-1)^{n-1}(dim(kerf_{n-1}+ dim (Im f_{n-1}))$$ das bildet eine Teleskopsumme und man erhält $$im(ker f_0)+(-1)^{n-1} dim (Im f_{n-1})= dim (V_0)+(-1)^{n-1} dim(V_n)=0+0=0$$