Berechnen Sie für folgende Homomorphismen jeweils den Kern.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für folgende Homomorphismen jeweils den Kern.
• (R3, +) → (R2, +), (x, y, z) → (x + y, y + z)
• (R2, +) → (R3, +), (x, y) → (x + y, x, y)

Problem/Ansatz:

Berechnen Sie für folgende Homomorphismen jeweils den Kern.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wir prüfen, welche Argumente \((x;y;z)\) auf \((0;0)\) abgebildet werden:$$\binom{x+y}{y+z}=\binom{0}{0}\implies x=-y\;\land\;z=-y\implies\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y\\y\\-y\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$$Der Kern enthält unendlich viele Elemente mit Basisvektor \((-1;1;-1)^T\).

zu b) Wir prüfen, welche Argumente \((x;y)\) auf \((0;0;0)\) abbilden:$$\begin{pmatrix}x+y\\x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\implies x=0\;\land\;y=0\implies\binom{x}{y}=\binom{0}{0}$$Der Kern besteht nur aus dem Nullvektor \(\vec 0\).