Aufgabe:
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Block 1:
Gegeben seien die Basis \( \mathcal{A}:=\left((1,2,1)^{T},(-2,3,3)^{T},(2,1,1)^{T}\right) \) von \( V=\mathbb{R}^{3} \) und die Basis \( \mathcal{B}:= \) \( \left((2,2)^{T},(1,-1)^{T}\right) \) von \( W:=\mathbb{R}^{2} \). Sei weiter \( F: V \rightarrow W \) linear mit Darstellungsmatrix
\( M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}(F)=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right) . \)
Bestimmen Sie:
a) \( F\left((-2,3,3)^{T}\right)= \)
b) \( \operatorname{Kern} F= \)
c) Bild \( F= \)
d) \( F^{-1}\left(\left\{(5,7)^{T}\right\}\right)= \)
Block 2:
Seien \( \sigma, \tau \in S_{6} \) mit \( \sigma=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 5 & 4 & 3 & 6\end{array}\right) \) und \( \tau=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 4 & 2 & 6 & 5\end{array}\right) \).
Bestimmen Sie:
a) \( (\tau \circ \sigma \circ \tau)(4)= \)
b) \( \sigma^{-1} \circ \tau= \)
c) \( \tau^{614}= \)
