Zeige Anzahl der Nebenklassen ist gleich der Anzahl der Nebenklassen von Kern und Bild

Question

Aufgabe:

Es sei A eine abelsche Gruppe und B ≤ A. Weiters sei f:A -> A' ein Homomorphismus von abelschen Gruppen. Man bezeichnet A_f bzw. A^f den Kern und das Bild von f mit B_f und B^f den Kern und das Bild von f|_B. Zeigen Sie, dass dann gilt:

[A:B] = [A^f : B^f] [A_f : B_f]

Problem/Ansatz:

Also für endliche Gruppen konnte ich das ganze über den Satz von Lagrance und einem Isomorphismus von G/ker(f) -> img(f) bereits zeigen (hoffe ich zumindest O.o). Nun funktioniert dieser Ansatz aber für unendliche Gruppen natürlich nicht da der Satz von Lagrance ja nur für endliche Gruppen gilt. Dann fehlt es mir aber im Moment leider an einem plausiblen Ansatz wie ich das ganze dann zeigen kann :/ Ein Tipp wäre toll!