Wie zeigt man, dass Nebenklassen linear unabhängig sind?

Question

Sei V ein K-Vektorraum und U ein UVR von V. Angenommen man hat noch zwei Vektoren v,w∈V gegeben und soll zeigen, dass die Nebenklassen v+U und w+U lin. unabhängig sind. Der Ansatz wäre ja

\(\lambda_{1}(v+U) + \lambda_{2}(w+U) = U \),

also

\((\lambda_{1}v+\lambda_{2}w)+U = U \),

und man müsste zeigen, dass \(\lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \). Wie würde man das anstellen, würde man

a) Zeigen, dass \((\lambda_{1}v+\lambda_{2}w) \in U \) nur für \(\lambda_{1}=\lambda_{2}=0\) gilt, oder

b) Zeigen, dass aus \(\lambda_{1}v+\lambda_{2}w=0 \) folgt, dass \(\lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \) ?

Kann bitte jemand etwas Licht ins Dunkeln bringen?

Comments

a) wäre eine Möglichkeit.

b) zeigt nichts

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Vielen Dank! :)

Answer 1

und soll zeigen, dass die Nebenklassen v+U und w+U lin. unabhängig sind.

Das sind sie aber nicht, wenn v ∈U und w∈U sind.

Comments

Okay, ich hätte vielleicht schreiben sollen: "...und soll überprüfen, ob die Nebenklassen lin. unabhängig sind", mein Fehler, sorry.

Meine Frage ist einfach: Du wolltest prüfen, ob v+U und w+U lin. unabhängig sind, was würdest du tun?

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Würdest du prüfen, wann av + bw = 0, oder wann av + bw ∈U gilt? (bzw. für welche Skalare a und b)

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Kannst du mir bitte noch diese Frage beantworten? Ich hänge fest