Aufgabe:
a) Zeigen Sie: in jeder abelschen Gruppe G ist \(ψ:G\rightarrow G, x\rightarrow x^n (n\in \mathbb{Z})\) ein Gruppenhomomorphismus.
b) Betrachten Sie den Homomorphismus \(ψ:\mathbb{C^x}\rightarrow \mathbb{C^x}, x\rightarrow x^4\), wobei \(\mathbb{C^x}=\mathbb{C}\) \ \(\{0\}\) und die Gruppenoperation die Multiplikation von komplexen Zahlen ist. Berechnen Sie ker\(ψ\). Hinweis: Beachten Sie \((1+i)^4=...\).
c) Bestimmen Sie für den Homomorphismus aus b) das Urbild \(ψ^{-1}(16)\), also alle \(x\in \mathbb{C^x}\) mit \(ψ(x)=(16)\). Hinweis: Es genügt eine Lösung zu bestimmen, die anderen ergeben sich mittels ker\(ψ\).
Problem/Ansatz:
a) \(ψ(x*y)=(x*y)^n=y^n*x^n=ψ(y)*ψ(x)=ψ(x)*ψ(y)\) für \(x,y\in G\) - Hier kenne ich eine Rechenregel nicht. Ist \((x*y)^n=y^n*x^n\) oder \((x*y)^n=x^n*y^n\) richtig? Ich würde sagen, dass die erste stimmt, wegen dem Fall n=-1 (den hatten wir bewiesen) und da sonst die Eigenschaft abelsch der Gruppe nicht benutzt wird.
b) ker\(ψ=\{x\in \mathbb{C^x}:ψ(x)=e'\}\) \(ψ(x\cdot e)=(x\cdot e)^4=(x\cdot 1)^4=1^4\cdot x^4=x^4=x^4\cdot 1^4=(1\cdot x)^4=(e\cdot x)^4=ψ(e\cdot x)=ψ(x)\) für \(x,e\in \mathbb{C^x}\) mit e=1 neutrales Element. \(e=e'=1\)
\(\Longrightarrow \text{ker}ψ=\{x\in \mathbb{C^x}:ψ(x)=1\}\)
Hier weiß ich nicht, wie man das x bestimmen kann. Die Darstellungsform \(r\cdot e^{iφ}\) hatten wir noch nicht und dürfen es deswegen nicht verwenden. Überlegung: \(x^4=1\Longrightarrow x=\pm 1, x=i^{4n}, x=-(i)^{4n-2}, n\in \mathbb{N}\).
Dabei ist der Hinweis aber nicht benutzt bzw. bedacht worden und es könnte noch weitere Zahlen der Form a+bi geben. \((1+i)^4=-4\) ist mir klar, aber wie hilft das hier weiter?
c) \(ψ(x)=16\Longrightarrow \sqrt[4]{16}=x\Longrightarrow x=\pm 2, x=(1+i)^2=2i\)
Da fehlen vermutlich noch Lösungen, wie kann hier der Kern weiterhelfen?
