Homomorphismus: Kern und Urbild in komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie: in jeder abelschen Gruppe G ist $ψ:G\rightarrow G, x\rightarrow x^n (n\in \mathbb{Z})$ ein Gruppenhomomorphismus.
b) Betrachten Sie den Homomorphismus $ψ:\mathbb{C^x}\rightarrow \mathbb{C^x}, x\rightarrow x^4$, wobei $\mathbb{C^x}=\mathbb{C}$ \ $\{0\}$ und die Gruppenoperation die Multiplikation von komplexen Zahlen ist. Berechnen Sie ker$ψ$. Hinweis: Beachten Sie $(1+i)^4=...$.
c) Bestimmen Sie für den Homomorphismus aus b) das Urbild $ψ^{-1}(16)$, also alle $x\in \mathbb{C^x}$ mit $ψ(x)=(16)$. Hinweis: Es genügt eine Lösung zu bestimmen, die anderen ergeben sich mittels ker$ψ$.

Problem/Ansatz:

a) $ψ(x*y)=(x*y)^n=y^n*x^n=ψ(y)*ψ(x)=ψ(x)*ψ(y)$ für $x,y\in G$ - Hier kenne ich eine Rechenregel nicht. Ist $(x*y)^n=y^n*x^n$ oder $(x*y)^n=x^n*y^n$ richtig? Ich würde sagen, dass die erste stimmt, wegen dem Fall n=-1 (den hatten wir bewiesen) und da sonst die Eigenschaft abelsch der Gruppe nicht benutzt wird.

b) ker$ψ=\{x\in \mathbb{C^x}:ψ(x)=e'\}$ $ψ(x\cdot e)=(x\cdot e)^4=(x\cdot 1)^4=1^4\cdot x^4=x^4=x^4\cdot 1^4=(1\cdot x)^4=(e\cdot x)^4=ψ(e\cdot x)=ψ(x)$ für $x,e\in \mathbb{C^x}$ mit e=1 neutrales Element. $e=e'=1$
$\Longrightarrow \text{ker}ψ=\{x\in \mathbb{C^x}:ψ(x)=1\}$
Hier weiß ich nicht, wie man das x bestimmen kann. Die Darstellungsform $r\cdot e^{iφ}$ hatten wir noch nicht und dürfen es deswegen nicht verwenden. Überlegung: $x^4=1\Longrightarrow x=\pm 1, x=i^{4n}, x=-(i)^{4n-2}, n\in \mathbb{N}$.
Dabei ist der Hinweis aber nicht benutzt bzw. bedacht worden und es könnte noch weitere Zahlen der Form a+bi geben. $(1+i)^4=-4$ ist mir klar, aber wie hilft das hier weiter?

c) $ψ(x)=16\Longrightarrow \sqrt[4]{16}=x\Longrightarrow x=\pm 2, x=(1+i)^2=2i$
Da fehlen vermutlich noch Lösungen, wie kann hier der Kern weiterhelfen?

Comments

Ich würde sagen, dass die erste stimmt, wegen dem Fall n=-1 (den hatten wir bewiesen) und da sonst die Eigenschaft abelsch der Gruppe nicht benutzt wird.

In jeder (also auch nicht abelschen) Gruppe gilt:

$$(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$$

Aber in beliebigen Gruppen gibt es für

$$(xy)^n$$

keinen schönen Ausdruck. Es gilt einfach nur

$$(xy)^n =\underbrace{xy~\cdot~ ... ~\cdot ~xy}_{n\textrm{ mal}}$$

für positive n. Um das jetzt irgendwie zusammenfassen zu können brauchst du die Kommutativität:

$$(xy)^n =x^ny^n = y^nx^n$$

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen sie: In jeder abelschen Gruppe st ψ: G → G, x → xⁿ (n ∈ Z) ein Gruppenhomomorphismus.

Stichworte: gruppenhomomorphismus,abelsche-gruppe

Zeigen Sie: in jeder abelschen Gruppe G ist ψ: G → G, x → xⁿ (n ∈ Z) ein Gruppenhomomorphismus.
(b) Betrachten Sie den Homomorphismus ψ: C
× → C^x, x → x⁴, wobei C× = C \ {0} und
die Gruppenoperation die Multiplikation von komplexen Zahlen ist. Berechnen Sie ker ψ.
Hinweis: Beachten Sie (1 + i)
4 = · · · .
(c) Bestimmen Sie fur den Homomorphismus aus (b) das Urbild ψ −1(16), also alle x ∈ C^x
mit ψ(x) = 16.
Hinweis: Es genugt eine Losung zu bestimmen, die anderen ergeben sich mittels ker ψ.

Könnte mir hier bitte jemand helfen?

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Bitte bei der Eingabe auf die Hochstellungen achten. Ein ^ habe ich ergänzt.

Answer 1

b)   x⁴ = 1

<=>  x⁴ - 1 = 0

<=> (x² +1 ) * ( x² -1 ) = 0

<=> ( x-i)(x+i)(x-1)(x+1)=0

also 4 Lösungen.

c) ψ(x) = 16  und y ∈ Kern(ψ)

==>   ψ(x*y) = 16

Comments

Vielen Dank schon mal.
Das heißt dann also kerψ={1,-1,i,-i} und bei c) x={2,-2,2i,-2i}?

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Ja, würde ich so sehen.

Answer 2

Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/625400/homomorphismus-kern-und-urbild-in-…