Question

Wie verhalten sich Kern und Bild, wenn man Homomorphismen miteinander verknüpft?

Also nehmen wir an, ich habe zwei Homomorphismen:

φ: V → W und ψ: W → V.

Wobei K ein Körper ist und V und W jeweils K-Vektorräume sind.

Nun ist ja der Kern φ die Menge aller v ∈ V, welche auf den Nullvektor ∈ W abgebildet werden.

Der Kern ψ die Menge aller w ∈ W, welche auf den Nullvektor ∈ V abgebildet werden.

Aber wie verhält es sich nun, wenn man anfängt die Homomorphismen zu verknüpfen ~?

Sagen wir also z.B. Der Kern (ψ ~ φ).

Wären dies nun alle Vektoren aus v ∈ V, welche ψ(φ(v)) auf den Nullvektor ∈ V abbildet? Also sogesehen der Kern vom Bild von φ?

Answer 1

Erneut die Begriffe... kern vom bild gibt es nicht. Dachte, das wäre geklärt?

\(\psi(\varphi(v))\) bildet gar nichts ab, das ist ein Vektor.

Und spekuliere nicht, sondern setze die Bedingung an, also:

Sei \(v\in kern(\psi\circ\varphi)\). D.h. ...und nun Du.

Comments

Mit den Begriffen komme ich leider immer wieder durcheinander. Ich denke das legt sich, sobald ich das alles verinnerlicht habe.

Also sei v ∈ kern \(\psi(\varphi(v))\), dann gilt \(\psi(\varphi(v))\) = 0?

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Die Idee ist gerade umgekehrt: indem du langsam(!) und gründlich mit den Begriffen hantierst, verinnerlichst du sie. Das ist der Sinn solcher Aufgaben.

Zum Ansatz: im Prinzip ja, aber wieso "existiert"? Setze den ersten Schritt (meine Vorgabe) Zeichen für Zeichen um, erfinde nichts dazu. Vor allem schreibe die Vorgabe richtig ab. Und achte auf die Objekte - das von dir abgeschriebene gibt es nicht (warum???).

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Mein Fehler!

Sei \(v\in kern(\psi\circ\varphi)\). D.h. es gilt:

\((\psi\circ\varphi)\): V → V, v ↦ \((\psi\circ\varphi)\)(v) := \(\psi(\varphi(v))\) mit \(\psi(\varphi(v))\) = 0?

Ich denke mein erster Schritt mit v ∈ kern \(\psi(\varphi(v))\) war falsch, weil dies ja beschreiben würde, dass es der Kern von einem einzigen Element wäre, was wahrscheinlich nicht einmal definiert ist.

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Ersteres ist richtig.

Zweiteres nicht. Es gibt nicht kern von Vektoren, nur kern von Abbildungen. Das hatten wir auch schonmal, achte doch mal darauf. Hinter "kern" muss immer eine Abbildung kommen (und achte auf den Unterschied Funktion-Funktionswert).