Zeigen Sie, dass die Abbildung A–>S^(-1)AS ein K-Vektorraum Isomorphismus ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper und \( S \in \mathrm{GL}_{n}(K) . \) Zeigen Sie, dass die Abbildung \( f: K^{n,n} \rightarrow K^{n,n} \), \( A \mapsto S^{-1} A S, \) ein \( (K \) -Vektorraum-) Isomorphismus ist.

Answer 1

zu zeigen:

Homomorphismus: , also

1. \( A+B \mapsto S^{-1}AS+S^{-1}BS, \)

für alle A,B aus K^(n.n) und

2. \( x*A \mapsto x(S^{-1} A S), \)

zu 1 etwa so \( A+B \mapsto S^{-1}(A+B)S, \)

Distributiv anwenden

\(= S^{-1}(AS+BS)\)

und dann nochmal

\( S^{-1} A S+S^{-1} B S \)

Für injektiv ( und weil es ein Endomorphismus ist

reicht das für Isomorphismus) prüfe:

Kern von f = {0}, etwa so

\( S^{-1}AS = 0\) ==>

\( S*S^{-1}AS = S*0 = 0 \)  ==>

\( AS = 0 \)  ==>

\( A*S*S^{-1}=  S^{-1}*0 \) ==>

\( A= 0  \)  q.e.d.