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Aufgabe: Sei A ∈ Mat(n x n; ℝ) eine Matrix mit Rang r.

1) Zeigen Sie, dass Kern(A) ⊆ Kern(A²) und folgern Sie, dass rang(A²) ≤ r gilt.

2) Sei B ∈ Mat(n x 2n; ℝ) die Matrix, deren ersten n Spalten die Spalten von A sind und die letzten n Spalten die Spalten von A² sind. Zeigen Sie, dass rang(B) = r gilt.

3) Bestimmen Sie die Dimension des Kernes von B.

4) Es gelte A² = (0), d.h. die Einträge der Matrix A² seinen alle gleich 0. Zeigen Sie, dass r ≤ n2 \frac{n}{2} gilt.


Problem/Ansatz:

Bei 1) habe ich leider absolut keine Ahnung wie ich vorgehen soll, da 2 darauf aufbaut und 3 wieder darauf aufbaut, ist dies ein Teufelskreis.

Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz erklären, wie ich hier vorgehen muss?

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2 Antworten

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1) Sei b ∈ Kern(A). Begründe das b ∈ Kern(A²) ist.

Avatar von 107 k 🚀
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Zu 2)

Das Bild img(A)img(A) von vAvv\mapsto Av wird von den Spalten von AA erzeugt.

Da img(A2)img(A)img(A^2)\subseteq img(A) gilt, sind die Spalten von A2A^2

Linearkombinationen der Spalten von AA, d.h. die letzten nn

Spalten von BB erhöhen den Spaltenrang von BB gegenüber

dem Spaltenrang rr von AA nicht. Damit ist

rang(B)=(B)=rang(A)=r(A)=r.

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