Kern/Rang bestimmen und Dimension

Question

Aufgabe: Sei A ∈ Mat(n x n; ℝ) eine Matrix mit Rang r.

1) Zeigen Sie, dass Kern(A) ⊆ Kern(A²) und folgern Sie, dass rang(A²) ≤ r gilt.

2) Sei B ∈ Mat(n x 2n; ℝ) die Matrix, deren ersten n Spalten die Spalten von A sind und die letzten n Spalten die Spalten von A² sind. Zeigen Sie, dass rang(B) = r gilt.

3) Bestimmen Sie die Dimension des Kernes von B.

4) Es gelte A² = (0), d.h. die Einträge der Matrix A² seinen alle gleich 0. Zeigen Sie, dass r ≤ $\frac{n}{2}$ gilt.

Problem/Ansatz:

Bei 1) habe ich leider absolut keine Ahnung wie ich vorgehen soll, da 2 darauf aufbaut und 3 wieder darauf aufbaut, ist dies ein Teufelskreis.

Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz erklären, wie ich hier vorgehen muss?

Answer 1

1) Sei b ∈ Kern(A). Begründe das b ∈ Kern(A²) ist.

Answer 2

Zu 2)

Das Bild $img(A)$ von $v\mapsto Av$ wird von den Spalten von $A$ erzeugt.

Da $img(A^2)\subseteq img(A)$ gilt, sind die Spalten von $A^2$

Linearkombinationen der Spalten von $A$, d.h. die letzten $n$

Spalten von $B$ erhöhen den Spaltenrang von $B$ gegenüber

dem Spaltenrang $r$ von $A$ nicht. Damit ist

rang$(B)=$rang$(A)=r$.