Rang und Dimension Matrix Parameter. Danach noch den Kern bestimmen.

Question

Rang und Dimension dieser Matrix mit Parameter bestimmen:

\( A_{\alpha}=\left(\begin{array}{llll}2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \alpha \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right) \)

Comments

Berechne vielleicht mal die Determinante dieser Matrix in Abhängigkeit von a.

Z.B. mit einer Entwicklung nach der 4. Spalte, damit das a gleich ausgeklammert ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Laplacescher_Entwicklungssatz

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danke mal für die Antwort....

Also das Problem ist dass wir die Determinanten noch nicht eingefuhrt haben...habe es aber selber nachgeschaut und bekomme als det.

det= 8-3a

nach a aufgelost bekomme ich eben 8/3

Also wenn a 8/3 ist dann haben wir rang 3 und wenn a nicht 8/3 ist, haben wir rang 2....

Ist das korrekt?

Was ist jetzt aber mit dem Kern?

Gibt es eine andere Methode?

Ich habe es auch mit elementarer Zeilenumformung versucht und komme auf das selbe Ergebnis heraus, ausser dass noch ein a in der 2ten Zeile steht....

mbg

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Wenn du das richtig gerechnet hast: bedeutet a = 8/3, dass der Rang kleiner als 4 ist und für a ≠ 8/3 ist der Rang 4.

Mit Zeilenumformungen geht das natürlich besser.
Wenn du Dreiecksform erreicht hast, testest du, wieviele Zeilen ≠ 0 sind. (abhängig von a ergibt sich der Rang)

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Ok das klappt =)

Danke für die Bestätitgung...was ist denn jetzt mit dem Kern?

Der Kern ist ja die Lösungsmenge...aber weiss nicht was damit anfangen.

Mbg

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Hier ein einfacheres Beispiel zur Berechnung eines Kerns:
https://www.mathelounge.de/69881/wie-rechne-ich-mit-kern

Ich hoffe, dass das hilft. Sollte jetzt für a ≠ 8/3 der Kern  nicht aus dem Nullvektor bestehen? Für a = 8/3 findest du hoffentlich einen von 0 verschiedenen Vektor.

Answer 1

                                                                Zeile 1 und 2 werden vertauscht, um eine Eins in die Diagonale zu kriegen.

                                                            Zeile 2 ' =   1/3  ( 2 * Zeile 1 - Zeile 2 )

       1 2 1 0                            

       2 1 0 0                             1 2 1 0          

      0 1 2 a                              0 1 0 0             Zeile 3 ' = Zeile 3 - Zeile 2

      0 0 1 2                               0 1 2 a     

                                                0 0 1 2   

                                                Zeile 4 '  = 2 Zeile 4 - Zeile 3

           1 2 1 0                  1 2 1 0            

          0 1 0 0                  0 1 0 0         Die Determinante verschwindet für a = 4

          0 0 2 a                 0 0 2 a

          0 0 1 2                0 0  0 4-a

       Auch im Falle a = 4 muss ja der Rang immer noch 3 sein.