Analysis gleichungssystem bestimmen

Question

Aufgabe: Die Vase in Abbildung I kann als Rotationskörper einer um die x-Achse rotierenden Randfunktion über einem passenden Intervall aufgefasst werden. Zur automatischen Fertigung einer solchen Vase soll eine passende Randfunktion f gefunden werden . Hierzu werden zunächst die Maße festgelegt. Die Höhe der Vase soll 12 cm betragen. Für den Bodendurchmesser sind 8 cm festgelegt; der Durchmesser der Öffnung beträgt 12 cm. In einer Höhe von 3 cm soll die Vase einen dort maximalen Durchmesser von 12 cm erhalten.

Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades auf die die genannten Bedingungen erfüllt. Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist nicht erforderlich.

Als Lösung ergibt sich: f(x)=1/54x^3-1/3x^2+3/2x+4

Problem/Ansatz:

Ich habe eine Lösung vorliegen allerdings weiß ich nicht wie ich darauf kommen sollte. Ich wäre sehr dankbar über eine aufklärende Rechnung.

Answer 1

Für den Bodendurchmesser sind 8 cm festgelegt; 

f(0)=4

der Durchmesser der Öffnung beträgt 12 cm.

Da die Vase 12 cm hoch sein soll, ist die Öffnung bei x=12:

f(12)=6

In einer Höhe von 3 cm soll die Vase einen dort maximalen Durchmesser von 12 cm erhalten.

f(3)=6 UND f '(3)=0.

Comments

Was hat ihre letzte Rechnung zu bedeuten?

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Du kennst den Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser?

(PS: Du hast gerade deine Rückfrage zu f(0)=4 gelöscht, das reißt meine Reaktion aus dem Zusammenhang. Aber vielleicht erfasst du auch die veränderte Rückfrage in ein paar Minuten, wenn du da mal drüber nachdenkst.)

Und warum vergibst du den Titel "beste Antwort", wenn du die Antwort - wie deine Rückfrage beweist- nicht mal richtig verstanden hast?

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Ja ich kennen den Zusammenhang zwischen radius und Durchmesser aber bei der Aufgabe versteh ich das leider nicht

Answer 2

Hallo,

da die Lösung gegeben ist, kann man sich die Kurve erst einmal ansehen.

https://www.desmos.com/calculator/nlc1qzg3ta

Die Vase liegt auf der Seite.

ganzrationalen Funktion 3. Grades

--> f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

   f'(x)=3ax^2+2bx+c

Der Boden ist bei x=0.

Für den Bodendurchmesser sind 8 cm festgelegt

--> f(0)=4=a•0^3+b•0^2+c•0+d --> d=4

Die Öffnung ist bei x=12.

Durchmesser der Öffnung beträgt 12 cm

--> f(12)=6=a•12^3+b•12^2+c•12+4

In einer Höhe von 3 cm soll die Vase einen dort maximalen Durchmesser von 12 cm erhalten.

--> Bei x=3 ist ein lokales Maximum.

Also f'(3)=0=3a•3^2+2b•3+c

Außerdem

f(3)=6=a•3^3+b•3^2+c•3+4

:-)

Comments

Hallo :) Genau und wie kann ich anhand davon ein gleichungssystem aufstellen?

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Hallo,

ich habe meine Antwort ergänzt.

:-)

Answer 3

\(A(0|4)  B(3|6)  C(9|4)      und    D(12,6)\)

Ich verschiebe um 4 Einheiten nach unten:

\(A´(0|0)  B´(3|2)  C´(9|0)    und  D´(12,2)\)

\(f(x)=a*x*(x-9)^2\)

\(f(3)=a*3*(3-9)^2=a*3*(-6)^2=108a=2\)         \(a=\frac{1}{54}\)

\(f(x)=\frac{1}{54}*x*(x-9)^2\)

Nun wieder 4 zurück nach oben:

\(p(x)=\frac{1}{54} *x*(x-9)^2+4 \)