Aussagen über Teilbarkeit beweisen

Question

Aufgabe:

Es seien a,b,c,d,t ∈ ℕ. Beweisen Sie:

(a) \( a \mid a \)
(b) \( (a|b \wedge b| c) \Longrightarrow a \mid c \)
(c) Seien \( a, b \in \mathbb{N} \) : \( (a|b \wedge b| a) \Longrightarrow a=b \)
(d) \( (a|b \wedge c| d) \Longrightarrow(a c) \mid(b d) \)
(e) \( (a|b \wedge a| c) \Longrightarrow a \mid(b x+c y) \forall x, y \in \mathbb{Z} \)

Problem/Ansatz:

Teilaufgaben a), b), und d) habe ich bereits bewiesen! Nur bei c) und e) komme ich nicht weiter bzw. sehe und finde keinen Ansatz.

Answer 1

Alle Bezeichner mögen für natürliche Zahlen stehen.

Zu e)

\(a \, | \, b\Rightarrow \; \exists m: \; b=am\) und

\(a \, | \, c\Rightarrow \; \exists n: \; c=an\)

Es folgt: \(bx+cy=amx+any=a(mx+ny)\) und es ist

\(mx+ny\) eine natürliche Zahl, also \(a \, | \, bx+cy\).

Zu c)

\(a \, | \, b\Rightarrow \exists m:\; b=am\) und

\(b \, | \, c\Rightarrow \exists n:\; a=bn\), folglich

\(a\cdot 1=a=bn=(am)n=a\cdot (mn)\).

Da die natürlichen Zahlen \(\neq 0\) eine kürzbare Halbgruppe

unter der Multiplikation bilden, folgt:

\(mn=1\), also \(m=n=1\).

Comments

Dankeschön ermanus. Eigentlich wie so oft doch ziemlich trivial ☺

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Habe noch c) hingeschrieben ....

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Dankeschön für deine tolle Hilfe

Answer 2

c)  a|b⇔es gibt k, sodass a=k·b (1)

    b|a⇔es gibt i, sodass b=i·a (2)

(1) in (2) a=k·i·a Durch i·a

\( \frac{1}{i} \)=k   (3)

(3) in (1) a=\( \frac{1}{i} \)·b oder b=i·a (4)

(3) und (1) in (4)

a=\( \frac{1}{i} \)·i·a

a=a

Comments

Auch dir vielen Dank Roland - da wünscht man sich doch, dass man beide Antworten als "Beste Antwort" auswählen könnte ☺