Zahlentheorie Beweis Teilbarkeit

Question

Hallo Leute.

Folgende Angabe:

Zeigen Sie. Für alle a,b element aus N (beide ungerade) gilt:

4 teilt nicht (5a²+b²)

Angegangen bin ich das Problem folgendermaßen:

Sei a:= 2k-1
Sei b:=2l-1

Anschließend eingesetzt:

4x = (5a²+b²)

4x = 5*(2k-1)²+(2l-1)²

Ausgerechnet kommt dann raus:

4x = 20k² - 20k + 4l² - 4l +6

Hier komme ich leider nicht mehr weiter. Ich weiß das ich die 4 auf der rechten Seite nicht herausheben kann wegen der 6. Aber ist das Beweis genug für "4 teilt nicht (5a²+b²)?

Besten Dank für eure Hilfe !

Answer 1

Sei a:= 2k-1
Sei b:=2l-1

Dann ist

        \(\begin{aligned} & \left(5a^{2}+b^{2}\right)\\ =\, & 20k^{2}-20k+4l^{2}-4l+6\\ =\, & 4\left(5k^{2}-5k+l^{2}-l+1\right)+2\\ \equiv\, & 2\mod4\\ \not\equiv\, & 0\mod4\text{.} \end{aligned}\)

Comments

Komme ab der Zeile wo die 4 herausgehoben wird nicht mit.

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\(\begin{aligned} =\, & 20k^{2}-20k+4i^{2}-4i+6\\ =\, & 20k^{2}-20k+4i^{2}-4i+4+2\\ =\, & \left(20k^{2}-20k+4i^{2}-4i+4\right)+2\\ =\, & 4\left(5k^{2}-5k+i^{2}-i+1\right)+2 \end{aligned}\)

Answer 2

Sind \(a\) und \(b\) ungerade, so gilt \(a^2\equiv b^2\equiv 1\) mod \(4\) und damit

\(5a^2+b^2\equiv a^2+b^2\equiv 2\not\equiv 0\) mod \(4\).