Fouriertransformierte für Rechteck-Signal, warum Imaginär-Anteil ungleich null

Question

\( f(t)=\left\{\begin{array}{l}C \text { für }-T / 2 \leq t \leq T / 2 \\ 0 \text { sonst }\end{array}\right. \).

\(f(t)\) ist gerade und symmetrisch, deswegen betrachte ich das Integral zwischen \(0\) und \(T/2\) an einer Stelle mit dem Faktor zwei.

\( F(\omega)=\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot \exp(-i\omega t)\,dt=\int \limits_{-T / 2}^{T / 2}C\cdot \exp(-i\omega t)\,dt=2C \int \limits_{0}^{T / 2} \cos \omega t + i\sin(\omega t)\mathrm{~d} t=2C \frac{\sin (\omega T / 2)}{\omega } + 2C i \frac{\cos (\omega T / 2)-\cos (0)}{\omega }= 2C \frac{\sin (\omega T / 2)}{\omega } + 2C i \frac{\cos (\omega T / 2)-1}{\omega } \).

In meinem Buch wird der Imaginärteil in der Rechnung einfach ignoriert bzw. wird gesagt, dass der Imaginärteil gleich Null ist, da \(f(t)\) gerade ist.

Bei meiner Rechnung bekomme ich jedoch den Term \(2C i \frac{\cos (\omega T / 2)-1}{\omega } \) heraus, welcher nicht unbeding gleich Null ist. Wo liegt mein Denkfehler?

PS:

Bei der Fourier-Entwicklung mit Reihen kann ich das noch nachvolziehn, dort wird \( B_{k}=\frac{2}{T} \int \limits_{-T / 2}^{+T / 2} f(t) \sin \omega_{k} t \mathrm{~d} t =0 \) für alle \( k \), wenn \(f\) gerade ist.

Answer 1

Dein Fehler liegt beim 3. Gleichheitszeichen:

$$\int_{-T/2}^{T/2} \exp(-iwt) dt=\int_{-T/2}^{0} \exp(-iwt) dt+\int_{0}^{T/2} \exp(-iwt) dt=\\\quad \int_{0}^{T/2} \exp(iwt) dt+\int_{0}^{T/2} \exp(-iwt) dt=\int_0^{T/2} 2 \cos(wt)dt$$

Comments

Danke :)

Diese Gleichheit verstehe ich nicht:

\(\int_{-T/2}^{0} \exp(-iwt) dt =\int_{0}^{T/2} \exp(iwt) dt \)

Vertauschen der Intervallgrenzen ergibt doch(?):

\(\int_{-T/2}^{0} \exp(-iwt) dt =-\int_{0}^{-T/2} \exp(-iwt) dt \)

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Führe die Substitution s:=-t durch

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Und jetzt mache die Koordinatentrafo \( s=-t \) mit \( \textrm ds = -\textrm dt\)

$$ t= 0 \longrightarrow s=0\\t=-\frac{T}{2} \longrightarrow s = \frac{T}{2}$$

Answer 2

Aloha :)

$$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}C & \text{für }-\frac T2\le t\le\frac T2\\0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$

\(f(t)\) ist gerade und symmetrisch, deswegen betrachte ich das Integral zwischen \(0\) und \(T/2\) an einer Stelle mit dem Faktor zwei.

Ja, \(f(t)\) ist symmetrisch, aber nicht die zu integrierende Funktion:$$F(\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt=\int\limits_{-T/2}^{T/2} \left(C\cdot\cos(\omega t)-i\,C\cdot\sin(\omega t)\right)dt$$Da \(f(t)=C\) gerade ist und \(\sin(\omega t)\) ungerade, fällt der gesamte Imaginärteil mit dem Symmetrieargument weg:$$F(\omega)=2\int\limits_{0}^{T/2} C\cos(\omega t)\,dt=\left[2C\frac{\sin(\omega t)}{\omega}\right]_{t=0}^{T/2}=\frac{2C}{\omega}\sin\left(\frac{\omega T}{2}\right)$$

Comments

Da \(f(t)=C\) gerade ist und \(\sin(\omega t)\) ungerade, fällt der gesamte Imaginärteil mit dem Symmetrieargument weg

Das gilt aber nur, weil wir über eine ganze Periode integrieren, oder?

Und danke für die Antwort :)

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Nein, das gilt für jede ungerade Funktion, wenn das Integrationsintervall symmetrisch um den Nullpunkt liegt. Das ist hier mit \([-\frac T2;+\frac T2]\) der Fall.