Fouriertransformierte für Rechteck-Signal, warum Imaginär-Anteil ungleich null

Question

$f(t)=\left\{\begin{array}{l}C \text { für }-T / 2 \leq t \leq T / 2 \\ 0 \text { sonst }\end{array}\right.$.

$f(t)$ ist gerade und symmetrisch, deswegen betrachte ich das Integral zwischen $0$ und $T/2$ an einer Stelle mit dem Faktor zwei.

$F(\omega)=\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot \exp(-i\omega t)\,dt=\int \limits_{-T / 2}^{T / 2}C\cdot \exp(-i\omega t)\,dt=2C \int \limits_{0}^{T / 2} \cos \omega t + i\sin(\omega t)\mathrm{~d} t=2C \frac{\sin (\omega T / 2)}{\omega } + 2C i \frac{\cos (\omega T / 2)-\cos (0)}{\omega }= 2C \frac{\sin (\omega T / 2)}{\omega } + 2C i \frac{\cos (\omega T / 2)-1}{\omega }$.

In meinem Buch wird der Imaginärteil in der Rechnung einfach ignoriert bzw. wird gesagt, dass der Imaginärteil gleich Null ist, da $f(t)$ gerade ist.

Bei meiner Rechnung bekomme ich jedoch den Term $2C i \frac{\cos (\omega T / 2)-1}{\omega }$ heraus, welcher nicht unbeding gleich Null ist. Wo liegt mein Denkfehler?

PS:

Bei der Fourier-Entwicklung mit Reihen kann ich das noch nachvolziehn, dort wird $B_{k}=\frac{2}{T} \int \limits_{-T / 2}^{+T / 2} f(t) \sin \omega_{k} t \mathrm{~d} t =0$ für alle $k$, wenn $f$ gerade ist.

Answer 1

Dein Fehler liegt beim 3. Gleichheitszeichen:

$$\int_{-T/2}^{T/2} \exp(-iwt) dt=\int_{-T/2}^{0} \exp(-iwt) dt+\int_{0}^{T/2} \exp(-iwt) dt=\\\quad \int_{0}^{T/2} \exp(iwt) dt+\int_{0}^{T/2} \exp(-iwt) dt=\int_0^{T/2} 2 \cos(wt)dt$$

Comments

Danke :)

Diese Gleichheit verstehe ich nicht:

$\int_{-T/2}^{0} \exp(-iwt) dt =\int_{0}^{T/2} \exp(iwt) dt$

Vertauschen der Intervallgrenzen ergibt doch(?):

$\int_{-T/2}^{0} \exp(-iwt) dt =-\int_{0}^{-T/2} \exp(-iwt) dt$

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Führe die Substitution s:=-t durch

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Und jetzt mache die Koordinatentrafo $s=-t$ mit $\textrm ds = -\textrm dt$

$$t= 0 \longrightarrow s=0\\t=-\frac{T}{2} \longrightarrow s = \frac{T}{2}$$

Answer 2

Aloha :)

$$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}C & \text{für }-\frac T2\le t\le\frac T2\\0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$

$f(t)$ ist gerade und symmetrisch, deswegen betrachte ich das Integral zwischen $0$ und $T/2$ an einer Stelle mit dem Faktor zwei.

Ja, $f(t)$ ist symmetrisch, aber nicht die zu integrierende Funktion:$$F(\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt=\int\limits_{-T/2}^{T/2} \left(C\cdot\cos(\omega t)-i\,C\cdot\sin(\omega t)\right)dt$$Da $f(t)=C$ gerade ist und $\sin(\omega t)$ ungerade, fällt der gesamte Imaginärteil mit dem Symmetrieargument weg:$$F(\omega)=2\int\limits_{0}^{T/2} C\cos(\omega t)\,dt=\left[2C\frac{\sin(\omega t)}{\omega}\right]_{t=0}^{T/2}=\frac{2C}{\omega}\sin\left(\frac{\omega T}{2}\right)$$

Comments

Da $f(t)=C$ gerade ist und $\sin(\omega t)$ ungerade, fällt der gesamte Imaginärteil mit dem Symmetrieargument weg

Das gilt aber nur, weil wir über eine ganze Periode integrieren, oder?

Und danke für die Antwort :)

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Nein, das gilt für jede ungerade Funktion, wenn das Integrationsintervall symmetrisch um den Nullpunkt liegt. Das ist hier mit $[-\frac T2;+\frac T2]$ der Fall.