Untersuchen Sie, ob folgende Abbildungen Normen auf R' sind

Question

Könnte jemand bitte zeigen, wie man mit dieser Schreibweise arbeiten soll?

Ich wäre sehr dankbar

Text erkannt:

(1) Untersuchen Sie, ob folgende Abbildungen Normen auf \( \mathbb{R}^{3} \) sind.
(a) \( \|\cdot\|_{a}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}-x_{2}\right| \)
(b) \( \|\cdot\|_{b}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto\left(\left|x_{1}\right|^{1 / 2}+\left|x_{2}\right|^{1 / 2}+\left|x_{3}\right|^{1 / 2}\right)^{2} \)
(c) \( \|\cdot\|_{c}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|^{2}+\left|x_{3}\right|^{3} \)
(d) \( \|\cdot\|_{d}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right| \)
(e) \( \|\cdot\|_{e}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto \max \left\{\left|x_{1}+x_{2}\right|,\left|x_{3}\right|\right\} \)

Comments

Habe fast es geschafft. Brauche aber Hilfe bei der b und e

Answer 1

Hallo,

b) und e) definieren keine Normen.

Zu b: Betgrachte \(x=(1,0,0)\) und \(y=(0,1,0)\). Dann ist

$$\|x+y\|=\|(1,1,0)\|=(1+1)^2=4 \quad \|x\|=1 \quad \|y\|=1$$

Zu e:

$$x:=(1,-1,0) \text{  dann: } x \neq 0 \text{ aber }\|x\|=0$$

Gruß Mathhilf