Aufgabe zu Jordannormalform und nilponenter Endomorphismus

Question

Aufgabe:

Problem:

Ich verstehe die Aufgabe nicht.

Könnte Sie mir jemand erklären?

Text erkannt:

(a) Sei \( K \) ein Körper. \( K[t]_{\leq 7} \) ist der 8-dimensionale \( K \)-Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 7 . Es sei
\( f: K[t]_{\leq 7} \rightarrow K[t]_{\leq 7}, \quad g(t) \mapsto g^{\prime}(t), \)
die Ableitung. \( f \) ist ein nilpotenter Endomorphismus. Bestimmen Sie für die drei Fälle \( \operatorname{char}(K) \in\{0,2,3\} \) jeweils die Bilder unter \( f \) der Vektoren \( t^{k} \) für alle \( k \in\{0, \ldots, 7\} \).
(b) Bestimmen Sie in den drei Fällen \( \operatorname{char}(K) \in\{0,2,3\} \) eine Jordannormalform von \( f \). Geben Sie jeweils eine Basis \( \mathcal{B} \) an, so daß \( M(\mathcal{B}, f, \mathcal{B}) \) in Jordannormalform ist.

Hinweise: Die Basis aus Monomen 1,t, \( t^{2}, \ldots, t^{7} \) ist in allen drei Fällen schon ziemlich nah dran. Aber die Jordanblöcke sind in den drei Fällen ganz verschieden.

Answer 1

a)  1.Fall char(K)=0

==>  f(t⁰)=f(1)=0     f(t)=1   f(t^2)=2t  f(t^3)=3t^2 ....

2.Fall : char(K)=2
==>  f(t0)=f(1)=0    f(t)=1  f(t^2)=2t=0t=0     f(t^3)=3t^2=t^2    ....

2.Fall : char(K)=3
==>  f(t0)=f(1)=0    f(t)=1  f(t^2)=2t   f(t^3)=3t^2=0t^2=0      ....