Aufgabe:
Text erkannt:
4. Definition: Eine Matrix \( A \in G L(n, \mathbb{R}) \) heißt orthogonal, falls sie \( A^{-1}=A^{t r} \) erfüllt.
(a) Zeigen Sie, dass eine Matrix \( A \) genau dann orthogonal ist, wenn ihre Spalten eine ON-Basis des \( M(n \times 1, \mathbb{R}) \) mit dem Standard-Skalarprodukt bilden.
(b) Sei \( A \in G L(n, \mathbb{R}) \) orthogonal.
(i) Zeigen Sie, dass jeder Eigenwert \( \lambda \in \mathbb{C} \) von \( A \) als Matrix in \( M(n \times n, \mathbb{C}) \) Betrag 1 hat, also \( \lambda \in S^{1} \subset \mathbb{C} \) ist (äquivalent: \( \lambda \cdot \bar{\lambda}=1 \) ).
(ii) Zeigen Sie, dass \( A \) als Matrix in \( M(n \times n, \mathbb{C}) \) diagonalisierbar ist.
(iii) Es seien \( v_{i} \in M(n \times 1, \mathbb{C})-\{0\} \) für \( i \in\{1,2\} \) Eigenvektoren von \( A \) mit Eigenwerten \( \lambda_{i} \) mit \( \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \). Zeigen Sie \( \overline{v_{2}}{ }^{t r} \cdot v_{1}=0 \).
Hinweise: Diese Eigenschaften sind ähnlich zu den Eigenschaften symmetrischer reeller Matrizen, die im HWS 2022 im Satz 9.25 vorgestellt wurden. Der Satz und sein Beweis werden am Anfang von Kapitel 13 behandelt. Sie sind eingeladen, sich den Beweis dort anzusehen und dann hier ähnliche Rechnungen zu machen.
Wenn \( v \in M(n \times 1, \mathbb{C})-\{0\} \) ein Eigenvektor von \( A \) mit Eigenwert \( \lambda \neq 0 \) ist, ist es auch ein Eigenvektor von \( A^{-1} \), und \( \bar{v} \) ist ein Eigenvektor von \( A \) und \( A^{-1} \) (hier ist \( \bar{A}=A \) wichtig). Was ist jeweils der Eigenwert?
Problem:
Ich komme mit dieser Aufgabe mit zurecht.
Ich weiß nicht was ich machen soll.
Kann mir jemand helfen?
