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4. Definition: Eine Matrix AGL(n,R) A \in G L(n, \mathbb{R}) heißt orthogonal, falls sie A1=Atr A^{-1}=A^{t r} erfüllt.
(a) Zeigen Sie, dass eine Matrix A A genau dann orthogonal ist, wenn ihre Spalten eine ON-Basis des M(n×1,R) M(n \times 1, \mathbb{R}) mit dem Standard-Skalarprodukt bilden.
(b) Sei AGL(n,R) A \in G L(n, \mathbb{R}) orthogonal.
(i) Zeigen Sie, dass jeder Eigenwert λC \lambda \in \mathbb{C} von A A als Matrix in M(n×n,C) M(n \times n, \mathbb{C}) Betrag 1 hat, also λS1C \lambda \in S^{1} \subset \mathbb{C} ist (äquivalent: λλˉ=1 \lambda \cdot \bar{\lambda}=1 ).
(ii) Zeigen Sie, dass A A als Matrix in M(n×n,C) M(n \times n, \mathbb{C}) diagonalisierbar ist.
(iii) Es seien viM(n×1,C){0} v_{i} \in M(n \times 1, \mathbb{C})-\{0\} für i{1,2} i \in\{1,2\} Eigenvektoren von A A mit Eigenwerten λi \lambda_{i} mit λ1λ2 \lambda_{1} \neq \lambda_{2} . Zeigen Sie v2trv1=0 \overline{v_{2}}{ }^{t r} \cdot v_{1}=0 .
Hinweise: Diese Eigenschaften sind ähnlich zu den Eigenschaften symmetrischer reeller Matrizen, die im HWS 2022 im Satz 9.25 vorgestellt wurden. Der Satz und sein Beweis werden am Anfang von Kapitel 13 behandelt. Sie sind eingeladen, sich den Beweis dort anzusehen und dann hier ähnliche Rechnungen zu machen.
Wenn vM(n×1,C){0} v \in M(n \times 1, \mathbb{C})-\{0\} ein Eigenvektor von A A mit Eigenwert λ0 \lambda \neq 0 ist, ist es auch ein Eigenvektor von A1 A^{-1} , und vˉ \bar{v} ist ein Eigenvektor von A A und A1 A^{-1} (hier ist Aˉ=A \bar{A}=A wichtig). Was ist jeweils der Eigenwert?

Problem:

Ich komme mit dieser Aufgabe mit zurecht.

Ich weiß nicht was ich machen soll.

Kann mir jemand helfen?

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