Parametrisierung einer Kurve

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Kurve gegeben welche die Punkte wie in der Abbildung oben miteinander verbindet. Ausgehend hiervon, soll ich eine stückweise glatte Parametrisierung der Kurve ɣ finden und die Bogenlänge L(ɣ) berechnen.

Problem/Ansatz:

Ich habe Schwierigkeiten damit genau zu verstehen was hier zu tun ist. Ich hätte die Aufgabe in zwei Teilen unterteilt: Einmal die Parametrisierung zwischen (0,0) und (1,0), und dann noch zwischen (1,0) und (1,2). Insgesamt sieht die Parametrisierung dann so aus:

ɣ(t) = (t,0) + (1,2t), t ∈ [0,1]

da die Strecke zwischen (0,0) und (1,0) sich wie folgt parametrisieren lässt: (0,0) + t*((1,0)-(0,0)) = (t,0) und

die Strecke zwischen (1,0) und (1,2) lässt sich wie folgt parametrisieren: (1,0) + t*((1,2)-(1,0)) = (1,2t) und

Hier auch direkt die erste Frage, ist die Parametrisierung richtig, wenn nein, wie müsste ich hier sonst vorgehen?
Die Länge der Kurve wäre entsprechend nach Definition \( \int\limits_{0}^{1} \) ||ɣ'(t)|| dt =  \( \int\limits_{0}^{1} \) \( \sqrt{(1-0)^{2} + (0-2)^{2}} \) dt = [\( \sqrt{5} \)t ]₀¹ = \( \sqrt{5} \).

Ich schätze mal, ich wüsste gern wie man hier vorgehen muss, bzw., ob mein Ansatz vielleicht sogar schon passt?
Vielen Dank!      

Answer 1

Hallo

du brauchst 2 verschiedene Parametrisierungen, 1. hast du richtig, γ₁(t)=(t,0) für 0<=t<=1

die 2te hast du im Prinzip auch, γ(t)=(1,2t);   0<=t<=1 oder

du kannst das nicht in eine einzige Kurve zusammenfassen dien Kurve ist die Gerade von (1,0) nach (2,1)

Die Streckenlänge von 2 Strecken per Integral auszurechnen ist  nicht sehr sinnig, da du ja weist es st 1+2=3 aber auch wenn brauchst du 2 Integrale für die Teilstrecken.

Gruß lul

Comments

Danke schonmal für die Hilfe!

Das heißt, die Parametrisierung ist soweit richtig und, wie du bereits gesagt hast, die Bogenlänge falsch. Für die Bogenlänge der gesamten Kurve sollte ich also die Bogenlängen beider Strecken separat ausrechnen und dann zusammen addieren (mit oder ohne Integrale), daher 1+2 = 3.

Folgefrage: Wie würde ich das ganze notieren? Gäbe es einen Weg die ganze Kurve (inklusive beider (Teil-)Strecken) in eine Parametrisierung zu packen? So wie ich es getan habe, d.h., beide Einzelparametrisierungen zu addieren, funktioniert ja nicht. Aber gibt es dann noch eine andere Möglichkeit? Oder müsste ich hier einfach beide einzeln berechnen.

Liebe Grüße

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Hallo

nein , es gibt keinen Weg das als eine Kurve zu schreiben, aber viel Kurven (oder auch Funktionen) werden stückweise definiert.

gäbe es eine Kurve. wäre sie ja in (1,0) nicht differenzierbar!

auch die Aufgabe ist ja :"soll ich eine stückweise glatte"

Notieren, wie ich es geschrieben habe mit γ1 und γ2

wenn du willst kannst du natürlich auch noch umschreiben und in γ1 t von 0 bis 1 und in γ2 t von 1 bis 2 laufen lassen.

Gruß lul