Orthogonalen Projektor bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei U = span des Vektors $$\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}$$

⊂ R²

. Bestimme die Orthogonalprojektion fPU
und den orthogonalen Projektor
auf U, PU und veranschauliche die Orthogonalprojektion graphisch, es ist kein Punkt gegeben von dem aus projeziert werden soll

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen. Mein Problem ist es den orthogonalen Projektor der laut unserer Definition die Matrix A ist für die gilt das Ax= (skalar) von U

also die auf den unterraum U abbildet. Für diese ist laut unserem Skript gefordert das sie die beiden Bedingungen:

A*A(x)=A(x) , und A=A^T  

erfüllt.

Die orthogonale Projektion habe ich für x allgemein mit dem normierten u= 1/5 Vektor (2 1) mit P = <x,u> * u = 1/25 * (2x1+x2) * $$\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}$$  berechnet

Nun kann ich intuitiv die Matrix $$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

bilden die dann auf U abbildet. Allerdings erfüllt diese die Voraussetzungen beide nicht :(

Comments

https://www.youtube.com/watch?v=FseHDXnIgj4

Habe nochmal auf Englisch recherchiert und dieses Video hat die Frage beantwortet.

Answer 1

Es bedeute \(\langle *,* \rangle\) das Skalarprodukt.

Dann ist die orthogonale Projektion eines Vektors auf den Raum U

gegeben durch \(P_U: {x\choose x}\mapsto \langle {x\choose y}, {2\choose 1}\rangle/\langle{2\choose 1},{2 \choose 1}\rangle \cdot {2\choose 1}=\frac{2x+y}{5}{2\choose 1}\).

In den Spalten der zugehörigen Matrix stehen dann

die Vektoren \(P_U(e_1)\) und \(P_U(e_2)\) ...