Welcher Punkt auf der Geraden liegt dem Koordinatenursprung am Nächsten?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Gerade

\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) ; r \in \mathbb{R} \)

Welcher Punkt auf der Geraden \( g \) liegt dem Koordinatenursprung am Nächsten?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll. Ich habe mal den Abstand berechnet. Der dürfte bei 4,61 LE liegen. Dann hatte ich die Idee, dass man den Betrag des Richtungsvektors, eines beliebigen Punktes auf g zu dem Ursprung

 \( \begin{pmatrix} (3-r)-0\\(1+4r)-0\\(5+2r)-0 \end{pmatrix} \)

mit dem Abstand 4,61 gleichsetzt und nach r auflöst. Allerdings kommt dann für r keine reelle Lösung raus.

Danke schonmal für die Hilfe :)

Answer 1

Du minimierst

\(f(r) = (3-r)^2+(1+4r)^2+(5+2r)^2\)

\(\Rightarrow f'(r) = -2(3-r)+2\cdot 4(1+4r)+2\cdot2(5+2r) = 0\)

\(\Rightarrow r=-\frac{11}{21}\)

Der gesuchte Punkt ist also

\((x,y,z) =  (3,1,5)-\frac{11}{21} (-1,4,2)\)

Answer 2

Es gibt einen Vektor

L(t_lot):=(3,1,5)+t_lot(-1,4,2)

der senkrecht vom KO-Ursprung auf die Gerade trifft,

d.h

L(t_lot) (-1,4,2)=0 ===> t_lot

und damit der Lotfußpunkt auf der Geraden

Answer 3

\(  \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)  \)

\( \vec{x^*}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) \)

\(0=\vec x^* \cdot \vec u \\=\left[\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)\\=-3+4+10+s\cdot(1+16+4)\\=11+21s     \\ \Rightarrow s=\dfrac{-11}{21} \)

\( \vec{x^*}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array}\right)+\dfrac{-11}{21}  \left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) =\dfrac{1}{21}\begin{pmatrix} 74\\-23\\83\end{pmatrix}\)

\(|\vec x^*|=\frac{1}{21} \sqrt{74^{2}+23^{2}+83^{2}} \approx5,4072262\)

:-)

Answer 4

OP ist senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden

([3, 1, 5] + r·[-1, 4, 2] - [0, 0, 0])·[-1, 4, 2] = 0 --> r = - 11/21

Jetzt Punkt P bestimmen

P = [3, 1, 5] - 11/21·[-1, 4, 2] = [74/21, - 23/21, 83/21] = [3.524, -1.095, 3.952]