Um zu zeigen, dass an > 2 für alle n ∈ ℕ ist, verwenden wir vollständige Induktion.
Induktionsanfang: Wir zeigen zuerst, dass a1 > 2 ist. Es gilt:
a1 = 3 > 2.
Also ist die Aussage für n = 1 wahr.
Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass an > 2 für ein beliebiges n ∈ ℕ gilt. Wir wollen nun zeigen, dass auch an+1 > 2 ist.
Wir betrachten die rekursive Definition von an+1:
an+1 = 4 - 4/an.
Wir wollen zeigen, dass an+1 > 2 ist. Wir können an+1 > 2 zeigen, indem wir zeigen, dass 4 - 4/an > 2 ist.
Dazu stellen wir folgende Ungleichung auf:
4 - 4/an > 2
Durch Subtraktion von 2 erhalten wir:
2 - 4/an > 0
Multiplizieren wir beide Seiten mit an/4, erhalten wir:
an/2 - 1 > 0
Addieren wir nun 1/2 auf beiden Seiten, erhalten wir:
an/2 > 1/2
Da an > 2 nach der Induktionsvoraussetzung, ist auch 1/an < 1/2. Daher folgt:
an+1 = 4 - 4/an < 4 - 4/2 = 2.
Somit haben wir gezeigt, dass an+1 < 2. Daher ist an+1 > 2 für alle n ∈ ℕ.
Daher ist an > 2 für alle n ∈ ℕ, wie durch vollständige Induktion bewiesen wurde.
