Aloha ;)
Eine Bemerkung vom Coach hat mich auf die Idee gebracht, was das \(t\) aus der Aufgabenstellung sein könnte. Daher kann ich nun eine sinnvolle Antwort versuchen.
Wir haben gegeben:$$M=\left(\begin{array}{ccc}8 & 12 & 7\\0 & 4 & 6\\25 & \frac{137}{5} & 13\end{array}\right)\quad;\quad\vec d=\left(\begin{array}{c}8\\4\\13\end{array}\right)\quad;\quad\begin{array}{rrr|c}x & y & z & =\\\hline8 & 0 & 25 & 8\\12 & 4 & \frac{137}{5} & 4\\7 & 6 & 13 & 13\end{array}$$
zu 1) Formulierung des Gleichungssystem mittels \(M\) und \(\vec d\)
Wir schreiben das Gleichungssystem in Matrixform und identifizieren die Koeffizientenmatrix als die transponierte Matrix \(M^T\):$$\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}8 & 0 & 25\\12 & 4 & \frac{137}{5}\\7 & 6 & 13\end{array}\right)}_{=M^T}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{=\vec x}=\underbrace{\left(\begin{array}{c}8\\4\\13\end{array}\right)}_{=\vec d}\quad\Longleftrightarrow\quad M^T\cdot\vec x=\vec d$$
zu 2) Die letzte Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix wird zu Null. Dadurch verlieren wir eine Gleichung, haben also nur 2 Gleichungen für 3 Unbekannte. Das bedeutet, wir können eine Unbekannte frei wählen, die beiden anderen Unbekannten sind dann durch die beiden Gleichungen bestimmt. Diese frei wählbare Unbekannte wird das ominöse \(t\) aus der Aufgabenstellung sein.
Wir lösen zuerst das modifizierte Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Gauß-Operation}\\\hline8 & 0 & 25 & 8 & \div8\\12 & 4 & \frac{137}{5} & 4 &\div 4 \\0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline\\[-2ex]1 & 0 & \frac{25}{8} & 1 &\\[1ex]3 & 1 & \frac{137}{20} & 1 &-3\cdot\text{Gleichung 1}\\[1ex]0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline\\[-2ex]1 & 0 & \frac{25}{8} & 1 &\Rightarrow x+\frac{25}{8}\,z=1\\[1ex]0 & 1 & -\frac{101}{40} & -2 &\Rightarrow y-\frac{101}{40}\,z=-2\\[1ex]0 & 0 & 0 & 0 &\end{array}$$
Wir stellen die beiden Bedingungsgleichungen um:$$x=1-\frac{25}{8}\,z\quad;\quad y=-2+\frac{101}{40}\,z$$und geben alle Lösungen an:$$\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\frac{25}{8}\,z\\[1ex]-2+\frac{101}{40}\,z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-\frac{25}{8}\\[1ex]\frac{101}{40}\\[1ex]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}+\pink{\frac{z}{40}}\begin{pmatrix}-125\\\phantom+101\\1\end{pmatrix}$$
Die \(z\)-Koordinate ist frei wählbar und kann alle Werte aus \(\mathbb R\) annehmen. Die beiden anderen Koordinaten sind dann eindeutig bestimmt. Da \(z\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, können wir auch \(\pink{\frac{z}{40}}\in\mathbb R\) beliebig wählen und den Parameter \(\pink{t\coloneqq\frac{z}{40}}\) einführen:
$$\vec x=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}+\pink t\cdot\begin{pmatrix}-125\\\phantom+101\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\pink t\in\mathbb R$$
zu 3) Hier läuft es auf eine quadratische Unleichung heraus:$$\overbrace{(1-125t)}^{\text{1-te Komp.}}\cdot\overbrace{t}^{\text{3-te Komp.}}>\overbrace{-2+101t}^{\text{2-te Komp.}}\quad\bigg|\text{Produkt ausrechnen}$$$$t-125t^2>-2+101t\quad\big|+2-101t$$$$-100t-125t^2+2>0\quad\big|\div(-125)$$$$t^2+\frac45\,t-\frac{2}{125}<0$$Die beiden Nullstellen der linken Seite finden wir mit der pq-Formel:$$t_{1;2}=-\frac25\pm\sqrt{\frac{4}{25}+\frac{2}{125}}=-\frac25\pm\sqrt{\frac{22}{125}}=-\frac{10}{25}\pm\sqrt{\frac{110}{625}}=-\frac{10}{15}\pm\frac{\sqrt{110}}{25}$$
Die eine Nullstelle ist negativ, die andere ist positiv. Da die Ungleichung für \(t=0\) erfüllt ist. liegen alle gesuchten Lösungen für \(t\) zwischen diesen beiden Nullstellen:$$t\in\left(\frac{-10-\sqrt{110}}{25}\;;\;\frac{-10+\sqrt{110}}{25}\right)\approx(-0,8196\;;\;0,0195)$$
