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Wir betrachten die Funktion:$$f(x)=x^4-x^2=x^2(x^2-1)=x^2(x-1)(x+1)$$
Sie berührt die \(x\)-Achse bei \(x=0\) und schneidet sie bei \(x=\pm1\). Zusätzlich ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, weil das Polynom \((x^4-x^2)\) nur gerade Exponenten enhält.
~plot~ (x^4-x^2)*(x>=-1)*(x<=1) ; [[-1,5|1,5|-0,3|0,1]] ~plot~
Wenn der Graph an einer bestimmten Stelle \(x\) um die \(x\)-Achse rotiert, entsteht senkrecht zur \(x\)-Achse ein Kreis mit Mittelpunkt auf der \(x\)-Achse. Der Radius dieses Kreises ist gleich dem Funktionswert \(r=f(x)\). Daher ist die Fläche dieses Krieses \(F=\pi\,r^2=\pi\,[f(x)]^2\). Um das Volumen des Rotationskörpers zu erhalten, müssen wir die Flächen aller dieser Kreise entlang der \(x\)-Achse addieren.
Wegen der Symmetrie reicht es aus, wenn wir das Integral nur für \(x\in[0;1]\) bestimmen und das Ergebnis dafür verdoppeln:
$$V=2\int\limits_0^1\pi\,[f(x)]^2\,dx=2\pi\int\limits_{0}^1\left(x^4-x^2\right)^2\,dx=2\pi\int\limits_0^1\left(x^8-2x^6+x^4\right)dx$$$$\phantom V=2\pi\left[\frac{x^9}{9}-\frac{2x^7}{7}+\frac{x^5}{5}\right]_0^1=2\pi\left(\frac19-\frac27+\frac15\right)=\frac{16}{315}\,\pi$$
