Aloha :)
zu 1) Bei der Rotation von \(f(x)=x^2+1\) um die \(x\)-Achse entstehen Kreise um die \(x\)-Achse herum. Diese haben den Radius \(f(x)\) und daher die Fläche \(\pi\cdot[f(x)]^2\). Wenn du alle diese Kreisflächen entlang der \(x\)-Achse addierst, erhältst du das Volumen des Rotationskörpers:$$V=\int\limits_1^2\pi\cdot(x^2+1)^2\,dx=\pi\int\limits_1^2(x^4+2x^2+2)\,dx=\pi\left[\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+2x\right]_1^2=\frac{178}{15}\,\pi$$
zu 2) Dasselbe Vorgehen wie bei Aufgabe 1:
$$V=\int\limits_{-r}^r\pi\cdot\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\,dx=\pi\int\limits_{-r}^r(r^2-x^2)\,dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{x=-r}^r=\frac{4}{3}\,\pi\,r^3$$
