Volumen von Rotationskörpern.

Question

Ich brauche Hilfe.                                 

Answer 1

Hallo Probe,
 
Ich nehme an, du kennst die Formeln
 V_x = π * _x1∫^x2  ( f(x) )² dx     und    V_y = π * _y1∫^y2  ( f ^-1(y) )² dy
Die Schnittstelle zwischen dem Parabelstück und der Geraden y=3  ist x=3.
Das Volumen V_x bei Rotation um die x-Achse ergibt sich aus
großer Zylinder_A1+A2+A3+A4  -  Kegelstumpf_A1+A2  - ∫_A3    =   V_A1+A2+A3+A4 - V_A1+A2 - V_A3
→  V_x  =   π * 3² * 3  -  π * ₀∫¹ ( 3 - x )² dx   -  π * ₁∫³ ( 1/4*(x-1)+2 )²  dx


Das Volumen V_y bei Rotation um die y-Achse ergibt sich, wenn die Fläche A₁+A₄ rotiert und man das Kegelvolumen der Rotation von A₁ subtrahiert.
Dazu kann man die Umkehrfunktion g^-1(y) = 2·√(y - 2) + 1 der Parabel benutzen:
V_y  =  ₂∫³  (2·√(y - 2) + 1)² dy - 1/3 * π * 1² * 1

Ohne Gewähr: V_x = 30.159  [VE]   ;  V_y = 16.755  [VE]        ( sagt mein Rechner, wenn ich nichts falsch eingetippt habe :-) )
Gruß Wolfgang

Answer 2

Hallo Probe,

Rotation um die y-Achse auch ?

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