Nachweis, dass Funktion eine Lösung der DGL ist

Question

Aufgabe:

Zur Herstellung von Bier wird unter anderem Hopfen benötigt. Dabei handelt es sich um eine schnell wachsende Schlingpflanze. Zur Untersuchung des Höhenwachstums von Hopfen wurde folgende Messwerttabelle aufgenommen:

Zeit t in Wochen	0	2	4	6	8	10	12	14
Höhe h(t) in m	0,45	1,10	2,30	3,75	4,90	5,55	5,85	5,95

b) Erläutern Sie die Modellannahme für logistischen Wachstum und erstellen Sie die entsprechende Differenzialgleichung. Weisen Sie nach, dass die Funktion zu d(t) = (6*e^t/2) / (e^t/2+12) eine Lösung der Differenzialgleichung ist.

Problem/Ansatz:

h´(t) = k* h(t) * (6 - h(t))

ich hatte überlegt, die Gleichung d(t) da einzusetzen um zu zeigen, dass h´(t) = d´(t) ist, allerdings hakt es bei der Umsetzung

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen! Danke

Comments

vgl.

https://www.mathelounge.de/1008692/nachweis-dass-funktion-eine-losung-der-dgl-ist

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Hallo, der Link führt wieder zu meiner Frage...

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Der Link führt zu dieser Aufgabe ?!

Answer 1

h´(t) = k* h(t) * (6 - h(t))

ich hatte überlegt, die Gleichung d(t) da einzusetzen

Vereinfache d'(t).

Vereinfache 1/12 · d(t) · (6 - d(t)).

Sag bescheid an welcher Stelle du Probleme hast, zu zeigen dass beide Ergebnisse äquivalent sind.

Comments

Stehe gerade auf dem Schlauch, woher weiß man das k = 1/12 ist?

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Ich habe d'(t) vereinfacht und k · d(t) · (6 - d(t)) vereinfacht und dann intensiv auf die entstandenen Terme geschaut.

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ich bin gerade beim Bilden der Ableitung von d(t)

bis jetzt habe ich:

d´(t) = (3 * e^t/2 * (e^t/2+12) - 3 * (e^t/2)² ) / (e^t/2 + 12)²

jetzt weiß ich leider nicht weiter, wie ich das vereinfacht bekommen