Logistisches Wachstum, Integralrechnung an einem Beispiel

Question

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Ich habe ein Problem mit der folgende Aufgabe:

Das Höhenwachstum von Sonnenblumen kann durch eine logistische Differentialgleichungder Form

y′(t) =k·(R−y(t))·y(t), mit Konstanten k,R >0

beschrieben werden.

Unter bestimmten Umweltbedingungen erreicht eine Sonnenblumenart eine maximale Höhe von 2,4 Metern. Zu Beginn der Beobachtung hat sie eine Höhe von 28 cm, vier Wochen später ist sie 1,12 m hoch.Wie hoch ist die Blume nach sechs Wochen?


Ich hoffe, das sie mir helfen können:)

Answer 1

\( \begin{aligned} y^{\prime}(t) &=k \cdot(R-y(f)) \cdot y(\sigma) \\ & u(0)=4_{0} \end{aligned} \)
\( y(0)=y \)
\( y(t)=\frac{R}{1+\left(\frac{R}{y_{0}}-1\right) e^{-k R t}} \)
\( R=2,4 \mathrm{~m} \)
\( y_{0}=0,28 \mathrm{~m} \)
\( y(4)=1,12 \mathrm{~m} \)
\( 1,12 m=\frac{34 m}{1+\left(\frac{2,4 m}{0,28 m}-1\right) \cdot e^{-k} \cdot 2,4 m \cdot 4} \)
\( 1,12=\frac{2,4}{1+\frac{53}{4} \cdot e^{-k \cdot 9,6}} \)
\( \frac{15}{7}=1+\frac{53}{7} \cdot e^{-k \cdot 96} \)
\( 15=7+53 \cdot e^{-k-96} \)
\( 53 \cdot e^{-k \cdot 96}=7-15 \)
\( e^{-k \cdot 96}=\frac{8}{53} \)
\( -k \cdot 96=\ln \left(\frac{8}{53}\right) \)
\( k=-\frac{1}{96} \cdot \ln \left(\frac{8}{53}\right) \)
\( k=0,196964 \)
\( y(6)=\frac{2,4}{1+\left(\frac{2,4}{0,28}-1\right) e^{-0.196664 \cdot 2,4 \cdot 6}}=1,66 \mathrm{~m} \)

Answer 2

Hallo

die Dgl löst du mit Separation der Konstanten, das entstehende Integral mit Partialbruchzerlegung oder Integralrechner.  dann L(0) einsetzen und L(oo) um die Konstanten zu bestimmen.

Gruß  lul