Zeige: n!/(n-k)! n^k = (1- (m/n))

Question

Hallo, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Danke im Voraus

Text erkannt:

c) Zeige: \( \frac{n !}{(n-k) ! n^{k}}=\prod \limits_{m=0}^{k-1}\left(1-\frac{m}{n}\right) \).

Answer 1

Es ist \(\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)=\prod_{m=0}^{k-1}(n-m)\).

Division durch \(n^k\) liefert \(\frac{n!}{(n-k)!n^k}=\frac{\prod_{m=0}^{k-1}(n-m)}{n^k}=\prod_{m=0}^{k-1}\frac{n-m}{n}=\prod_{m=0}^{k-1}(1-\frac{m}{n})\).