Hier ist es sinnvoll, sich zunächst einmal anzuschauen, was die Funktion genau macht. Zum Beispiel schreibst du dir die ersten 4 bis 6 Funktionswerte auf:
n
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| \(\ldots\)
|
f(n)
| 2
| 1
| 4
| 3
| 6
| 5
| \(\ldots\)
|
So erkennst du schnell, dass es hilfreich ist, den Definitionsbereich \(\mathbb N\) in gerade und ungerade Zahlen zu zerlegen. Für \(k\in\mathbb N \) gilt:
\(n= 2k \Rightarrow f(2k) = 2k + (-1)^{2k+1} = 2k-1\)
\(n= 2k-1 \Rightarrow f(2k-1) = 2k-1 + (-1)^{2k-1+1} = 2k\)
Also zusammen:
\(f(n) = \left\{\begin{array}{ll} n-1 & n \text{ gerade} \\ n+1 & n\text{ ungerade}\end{array}\right.\)
Das heißt, eine gerade Zahl kann nur Bild einer ungeraden Zahl sein und umgekehrt.
Jetzt ist der Rest schnell gemacht.
Injektiv:
\(f(m) = f(n)\) gerade \(\Rightarrow m-1=n-1 \Rightarrow m= n\)
\(f(m) = f(n)\) ungerade \(\Rightarrow m+1=n+1 \Rightarrow m= n\)
Surjektiv:
\(n\in \mathbb N\) gerade \(\Rightarrow n-1 \in \mathbb N\) und \(f(n-1) = n\)
\(n\in \mathbb N\) ungerade \(\Rightarrow n+1 \in \mathbb N\) und \(f(n+1) = n\)
