Mengenlehre, wie beweise ich die Wahrheit dieser Aussagen und wie geben ich ein Gegenbeispiel dafür an?

Question

Sehr geehrte Mitglieder,

ich habe folgende Frage:

Aufgabe:

Seien A, B und C nichtleere Mengen, g: A -› B und h: B -› C
Abbildungen. Zeige:
(1) Ist h o g injektiv, so ist g injektiv.
(2) Ist h o g surjektiv, so ist h surjektiv.
Gib jeweils ein Gegenbeispiel an, das zeigt, dass die Umkehrung dieser Aussagen im
Allgemeinen nicht gilt.

Ich bedanken mich schon einmal vielmals im Voraus.

Answer 1

(1)

Sei \(a_1,a_2 \in A\) mit \(g(a_1) = g(a_2)\)

\(\Rightarrow h(g(a_1)) = h(g(a_2))\)

\(\stackrel{h\circ g \: injektiv}{\Longrightarrow} a_1 = a_2\)

D.h., \(g\) ist injektiv.

Gegenbeispiel Rückrichtung:

\(A=B=C=\mathbb R\)

\(g(a)=a\) für alle \(a\in A\) und \(h(b) = 1\) für alle \(b\in B\)

(2)

Sei \(c \in C\)

\(\stackrel{h\circ g \: surjektiv}{\Longrightarrow}\) es gibt ein \(a \in A\) mit \(h(g(a)) =c\)

\(\Rightarrow \) es gibt \(b=g(a) \in B\) mit \(h(b) = c\)

D.h., \(h\) ist surjektiv.

Gegenbeispiel Rückrichtung:

\(A=B=C=\mathbb R\) und

\(g(a)=1\) für alle \(a\in A\) und \(h(b) = b\) für alle \(b\in B\)