Aufgabe:
In der Einführung in die Stochastik haben Sie zum Testen der Hypothese \( H: p=p_{0} \) gegen die Alternative \( K: p \neq p_{0} \) für das Modell \( X_{1}, \ldots, X_{n} \sim B(p)=\operatorname{Bin}(1, p) \) u.i.v. folgendes Verfahren kennengelernt: Lehne \( H \) zum Niveau \( \alpha \) ab, falls für den p-Wert zur Beobachtung \( x=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \) gilt: \( \tilde{p}(x):=P_{p_{0}}\left(\left|X-n p_{0}\right| \geq\left|x-n p_{0}\right|\right)<\alpha \). Dieses Vorgehen ist in Literatur und Software nicht einheitlich. Bei der Statistiksoftware \( \mathrm{R} \) wird der p-Wert dagegen als die Summe der Wahrscheinlichkeiten definiert, die höchstens so groß sind wie die Wahrscheinlichkeit \( P(X=x) \), d.h. \( \tilde{p}^{R}(x):=\sum \limits_{j: P_{p 0}(X=j) \leq P_{p 0}(X=x)} P_{p_{0}}(X=j) \) mit \( P_{p}(X=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \) für \( k \in\{0,1, \ldots, n\} \), also nennt man hier eine Beobachtung (mindestens so) extrem im Sinne der Alternative, wenn sie eine höchstens so große Eintrittswahrscheinlichkeit unter der Hypothese hat, wie die vorliegende Beobachtung \( x \). Eine dritte Variante lautet: Definiere den p-Wert als das Doppelte des Minimums der beiden einseitigen \( \mathrm{p} \)-Werte: \( \tilde{p}^{1}(x):=\min \left(2 \cdot P_{p_{0}}(X \leq x), 2 \cdot P_{p_{0}}(X \geq x)\right. \), 1). Diese Definitionen sind i.a. nicht mehr äquivalent. Zeigen Sie:
(a) Die drei obigen Varianten des zweiseitigen p-Wertes stimmen im Fall einer symmetrischen Hypothese, d.h. \( p_{0}=\frac{1}{2} \), überein.
HINWEIS: Verwenden Sie zur Bestimmung von \( \tilde{p}^{R}(x) \), dass \( P_{\frac{1}{2}}(X=k) \) streng wachsend für \( k<\frac{n}{2} \) und streng fallend für \( k>\frac{n}{2} \) ist (s.a. Hinweis (b) für Spezialfall \( p=\frac{1}{2} \) ).
(b) Im Fall \( n=20, p_{0}=\frac{1}{4} \) und \( x=1 \) sind alle drei Varianten des zweiseitigen p-Wertes verschieden.
HINWEIS: Zeigen und verwenden Sie, um \( \tilde{p}^{R}(x) \) zu berechnen, dass \( P_{p}(X=k) \) maximal für \( k=(n+1) p-1 \) und \( k=(n+1) p \) ist, falls \( (n+1) p \in \mathbb{N} \), und für \( k=[(n+1) p] \), sonst, und dass \( P_{p}(X=k) \) streng wachsend in \( k \) für \( k<M \) und streng fallend in \( k \) für \( k>M \) ist, wobei \( M \) die Maximalstelle(n) von \( P_{p}(X=k) \) bezeichne. (Damit bräuchte man hier dann nur die Wahrscheinlichkeiten \( P_{\frac{1}{4}}(X=k) \) für \( k=0,1, \ldots, 9,10 \) auszurechnen, da \( P(X>10)=1-P(X \leq 10) \) )
(c) Sei \( \alpha=0,05 \). Geben Sie für jede der drei Varianten jeweils die Testentscheidung für (b) an.
Problem/Ansatz:
Mir fehlt der Ansatz. Evtl. auch weil die Aufgabe einfach zu komplex formuliert ist.
