Beweise zur Mengenlehre (LA 1 Uni): A × ∩_{i ∈ i} M_{i} = ∩_{i ∈ I} A × M_{i}

Question

Aufgaben

a) $$ A\times \bigcap_{i\in i} M_i= \bigcap_{i\in I} A \times M_i $$

b) $$ \bigcup\limits_{i \in I} \mathcal(P(M_i) \subseteq \mathcal P[\bigcup\limits_{i \in I} M_i)  $$

Bei der a) hab ich das für $$  A\times \bigcap_{i\in i} M_i und \bigcap_{i\in I} A \times M_i $$ gilt $$ { (a,m) : a \in A , m \in M_i : \forall i \in I}  $$

dann wollte ich die Gleichheit beweisen durch Inklusion :

$$Sei (a,m) \in A\times \bigcap_{i\in i} M_i$$ dann gilt : $$ a \in A , m\in M_i : \forall i \in I $$

Also $$(a,m) \in \bigcap_{i\in I} A \times M_i$$

Wie mache ich jetzt die andere Inklusion?

Sei $$(a,m) \in \bigcap_{i\in I} A \times M_i$$

Und bei der in ich vollkommen verloren kann mir jemand einen Lösungsvorschlag zeigen?

Answer 1

Wie mache ich jetzt die andere Inklusion?

Sei (a,m)∈⋂i∈IA×M (a,m) ∈  ∩ AxM_i

Dann ist (a,m)∈⋂i∈IA×M (a,m) ∈   AxM₁ 
              und (a,m) ∈   AxM₂
                 und (a,m) ∈   AxM₃ ...

also ist auch hier richtig:

a ∈ A und für alle i ist m ∈ M_i ,

also auch     (a,m)∈⋂i∈IA×M (a,m) ∈  A  x  ∩ M_i

b) Sei M ∈ ∪  P(M_i)

==>  ∃ i  mit   M ∈   P(M_i)

und   P(M_i) enthält ja alle Teilmengen und  M_i

==>    ∃ i  mit   M ⊆M_i

und M_i  ist natürlich auch eine Teilmenge der Vereinigung aller    M_i

also    M ⊆M_i  und     M_i    ⊆  ∪     M_i

wegen der Transitivität der Teilmengenrelation also

  M   ⊆  ∪     M_i

==>    M ∈   P( ∪ M_i)  q.e.d.