Aufgabe zur Mengenlehre - Lineare Algebra (Uni)

Question

:)

Habe hier 6 Aufgaben, wo ich bei 4 nicht so recht weiter komme und bei 2 fragen möchte, ob ich die richtig behandelt habe:

1) Es seien A und B Mengen und f : A ↦ B eine Abb. Dabei seien K,L ⊂ A als auch M,N ⊂ B Teilmengen. Ich soll nun folgende Aussagen beweisen oder widerlegen:

a) f ^-1 (M ∪ N) = f ^-1 (M) ∪ f ^-1 (N)  
b) f (K ∪ L) = f (K) ∪ f (L)

2) Es seien K, L als auch M Mengen.

a) Zeige: (K \ M) ∪ (L \ M) = ( K ∪ L) \ M
b) Zeige: (K \ M) ∩ (L \ M) = ( K ∩ L) \ M
c) Wann gilt: (K \ L) ∪ (L \ K) = ∅ (bzw. leere Menge)
d) Wann gilt: K \ L = K 

Versuche:
Hab mir zu 1 b) überlegt, erstmal ein Bild und sein Urbild aufzustellen:
f(K) ist das Bild einer Teilmenge K ⊂ A und definiert durch f(K) := { f(x) für die gilt x ∈ K } ⊂ B
(Bei Urbild das selbe mit der anderen Menge, nämlich B) hab aber das Gefühl, dass es nicht der richtige Ansatz ist und falls doch, wüsste ich nicht,wie ich jetzt weiter rechnen sollte.

bei 2 a) schreibe ich zuerst die Definition auf und sage, dass zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn gilt: ∀x: x ∈ (K ∩ L) \ M ⇔ x ∈ (K \ M) ∩ (L \ M) sowie dass ''x'' fest, aber beliebig ist. Nach einigen Schritten habe ich gezeigt, dass die Aussage korrekt ist. Genauso wie in b) (Falls nötig,kann ich die Rechenschritte auch angeben)

bei c) und d) weiß ich leider gar nicht, was ich machen muss. Von der Idee her ähnlich aufbauen?

Wäre dankbar, wenn mir einer als Stütze bzw. Hilfe dienen könnte! :)

Schöne Grüße,
der Mathe_Lerner

Answer 1

Die Gleichheit A=B zweier Mengen A und B zeigt man normalerweise indem man 

• A⊆B zeigt, also x∈A ⇒ x∈B
• B⊆A zeigt, also x∈B ⇒ x∈A

Der Anfang des Beweises von A⊆B lautet deshalb einfach "Sei x∈A." Unter Rückgriff auf die Definitionen von A und B muss man dann logisch Schlussfolgern, dass auch x∈B ist.

Beispiel. Um f ^-1 (M ∪ N) = f ^-1 (M) ∪ f ^-1 (N) zu zeigen genügt es,

• f ^-1 (M ∪ N) ⊆ f ^-1 (M) ∪ f ^-1 (N) und
• f ^-1 (M) ∪ f ^-1 (N) ⊆ f ^-1 (M ∪ N)

zu zeigen.

Sei dazu x ∈ f ^-1 (M ∪ N). Ferner sei y ∈ M ∪ N so dass f(x) = y ist (ein solches y existiert laut Definition von f ^-1 (M ∪ N)). Dann ist y ∈ M oder y ∈ N (laut Definition der Vereinigung).

Fall 1: y ∈ M. Dann ist x ∈ f ^-1 (M) wegen f(x) = y, also auch x ∈ f ^-1 (M) ∪ f ^-1 (N).

Fall 2: y ∈ N. Analog zu Fall 1 ist auch dann x ∈ f ^-1 (M) ∪ f ^-1 (N).

Bei 2 c) und d) musst du zusätzlich noch eine Vermutung aufstellen. Dabei helfen in diesem Fall Venn-Diagramme.

Comments

Danke für die schnelle Antwort! :) 
Hast du jetzt im Prinzip die Teilaufgabe mit der Abbildung fertig ''bewiesen''? Wenn Ja, hab ich es ziemlich gut verstanden! :)

Und die 2 c) und d) hab ich jetzt so versucht zu lösen:

2 c)
L \ K = ∅ ⇒ K { a,b,c }, L { b,c }. Somit ist L ⊂ K Und wenn L eine Teilmenge von K ist, wäre es ja ein Widerspruch und somit hätte ich bewiesen, dass L \ K eine leere Menge ist. Oder bin ich auf dem falschen Holzweg? :/

2 d)
Vermutung: K \ L = K, wenn kein Element von L in K liegt bzw. L ⊄ K bzw. ∀x ∈ K: x ∉ L
Beweis: Sei x ∈ K ⇔ x ∈ K ∧ x ∉ L ⇔ ∀x ∈ K : x ⊄ L ⇔ L ⊄ K ⇒ K \ L = K

Oder umgekehrt bzw. ''⊃'': x ∉ (L ⊄ K) ⇔ x ∈ K Λ x ∉ L ⇒ x ∈ K ⇒ K \ L = K    q.e.d

Da ist meine Frage auch noch, ob es auch möglich wäre, würde ich allgemein die Differenzmenge ''beispielhaft'' aufschreiben: K = { a,b,c }, L = { c,d,e }... K \ L = { a,b } und somit K \ L = K. Oder ist das nicht erlaubt bzw. für die Aufgabe zu wenig? 

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> Hast du jetzt im Prinzip die Teilaufgabe mit der Abbildung fertig ''bewiesen''?

f ^-1 (M) ∪ f ^-1 (N) ⊆ f ^-1 (M ∪ N) fehlt noch

> 2 c)

Du bist auf dem richtigen Weg: damit L \ K = ∅ ist muss L ⊆ K sein. Du hast es aber lediglich anhand eines Beispiels plausibel gemacht, und noch nicht allgemein bewiesen.

> 2d)

"wenn kein Element von L in K liegt" und "L ⊄ K" sind unterschiedliche Aussagen. Wenn kein Element von L in K liegt, dann ist L∩K = ∅.

> Sei x ∈ K ⇔ x ∈ K ∧ x ∉ L ⇔ ∀x ∈ K : x ⊄ L ⇔ L ⊄ K ⇒ K \ L = K

Schreibe den Beweis lieber in vollständigen Sätzen auf, anstatt als Aneinanderreihungen von ⇔ und ⇒.