Lineare Fortsetzung? uni

Question

Hi :)

Ich mache gerade eine Aufgabe bei der ich einen " Satz der Linearen Fortsetzung" benutzen soll . Ich habe ein bisschen gegoogelt und den Script gelesen , kann aber immehin nicht nachvollziehen wofür den Satz nützlich sein könnte.

Satz 9.6 (lineare Fortsetzung) :

Sei V ein ❑-Vektorraum und {v1, . . . , vn} eine Basis von V . Weiter seien w1, . . . , wn beliebig vorgegebene Vektoren eines ❑-Vektorraumes W. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung Φ : V → W mit Φ(vi) = wi , i = 1, 2, . . . , n.

Sind die wi basis Vektoren von einer Basis in W? Ich aber nicht unbedingt , da die Abbildung kein Isomorphismus ist.

Ich bedanke mich im Voraus :)

Comments

EDIT: Steht etwas Spezielles in diesen Vierecken?

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K-Vektorraum

Answer 1

> Sind die wi basis Vektoren von einer Basis in W?

Was veranlasst dich zu dieser Annahme? In der Aufgabenstellung heißt es ja lediglich  "Weiter seien w1, . . ., wn beliebig vorgegebene Vektoren" (Hervorhebung von mir).

Beweis der Existenz. Es sei Φ : V → W mit Φ(v_i) = w_i für  i = 1,  . . . , n.

Für jedes v = ∑_i=1..n α_iv₁ ∈ V sei ferner

        Φ(v) := ∑_i=1..n α_iΦ(v_i).

Verwende das was du über Basen weißt um zu zeigen dass Φ wohldefiniert ist.

Verwende das was du über lineare Abbildungen weißt um zu zeigen dass Φ linear ist.

Beweis der Eindeutigkeit. Sei Φ wie oben und Ψ : V → W linear mit Ψ(v_i) = w_i für  i = 1,  . . . , n.

Verwende das was du über lineare Abbildungen weißt um zu zeigen dass Ψ(v) = Φ(v) für jedes v∈V ist. Tipp: Stelle v als Linearkombination einer Basis von V dar.